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1、第85题 排列与组合综合问题I题源探究黄金母题【例1】某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法 （ ）A336 B408 C240 D264【答案】选A【解析】方法数为：，故选A【例2】已知集合，定义映射，且点若的外接圆圆心为D，且，则满足条件的映射有 （ ）A12个； B10个； C6个； D16个；【答案】A【解析】设为的中点，由，知三点共线，结合题意知，于是，这样满足条件的映射共有种精彩解读【试题来源】【例1】人教A版选修2-3P27习题12AT4改编【例2】
2、选修2-3P41复习参考题B组T1（3）改编【母题评析】本题考查有限制条件的计数问题，考查考生的分析问题、解决问题以及基本计算能力【思路方法】分析问题时，可以充分利用树形图或框图进行分析可以从不同的角度分析与思考（直接法或间接法），相互检验，从而得到正确的解答II考场精彩真题回放【例1】【2016高考四川】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （ ）A24 B48 C60 D72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组
3、合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置【例2】【2016高考新课标III理】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数若，则不同的“规范01数列”共有（ ）A18个 B16个 C14个 D12个【答案】C【解析】由题意，得必有，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多
4、，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果【例】【2017高考天津理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答）【答案】【解析】 【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数【命题意图】这类题主要考查排列组合综合应用题这类题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力、转化与化归能
5、力以及分类、正难则反的逆向思维、构造模型等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】解答此类问题，应掌握以下基本方法与技巧：（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列组合综合问题先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化III理论基础解题原理1区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结
6、果没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关2解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步3对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，例如第9题，先满足特殊的甲乙两人的位置；（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数3解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手（1）“分析”就是找出题
7、目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；（3）“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的，因此方法灵活多样，不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型
8、是必要的解排列组合题综合题的基本方法（1）限制元素(位置)优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置（2）正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉（3）复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步（4）相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间
9、（5）相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”将“捆绑”元素在这些位置上作全排列（6）相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(mn)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m1个结点，剪截成m段这是针对相同元素的组合问题的一种方法（7）定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数【易错指导】（1）在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义（2）关于几何图形的组合题目
10、，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法)（3）在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法（4）分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m组，则分法V举一反三触类旁通考向1 元素个数较少的排列组合问题元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法【例1】设有
11、编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？【答案】20【跟踪练习】1【2018海南高三二模】如图，小林从位于街道处的家里出发，先到处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为_【答案】92【2018北京101中学高二下学期期中考试】将甲、乙、丙、丁四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且甲不排在第一，乙不排在第二，丙不排在第三，丁不排在第四，比如：“乙甲丁丙”是满足要求的一种排法，试写出他们四个人所有不同的排法
12、【答案】9【解析】由于甲不排在第一，所以第一只能排乙、丙、丁中的一个，据此可分为三类：乙甲丁丙 丙甲丁乙 丁甲乙丙乙丙丁甲 丙丁甲乙 丁丙甲乙乙丁甲丙 丙丁乙甲 丁丙乙甲所以他们四个人共有9种不同的排法考向2 “恰好”、“至少”、“至多”问题这类问题可采用分类法或间接排除法【例2】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ）种？A480 B240 C180 D120【答案】B【解析】解法一（直接法）：解法二（间接法）：先从12只手套中任取4只，其中四种颜色不同及两双同色的情况不符合题意，应该去掉，所以“从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套”的
13、不同取法共有（种）【名师点睛】“恰好有一个”是“只有一个”的意思“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”变式练习：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有 种【答案】【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）A150种 B180种 C200种 D280种【答案】A【解析】人数分配上有两种方式即与若是，则有种；若是，则有种，则不同的分派方法共有种，故选【名师点睛】本题主要考查的知识点是排列，组合及简单计数问题由题意知本题是一个分类问题，根据题意可知人数分配上两种
14、方式即与，分别计算出两种情况下的情况数目，相加即可得到答案【例4】【2018辽宁朝阳市高三一模】从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：C201C301C482；C504-C204-C304；C201C303+C202C302+C203C301则其中正确算式的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】错，计算有重复；对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，所以选C【名师点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列
