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1、第 28题 利用导数解决应用问题中的优化问题I题源探究黄金母题【例1】用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_【解析】设长方体的宽为xm，则长为2xm，高故长方体的体积为从而令，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1当0x1时，0；当1x时，0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值从而最大体积V3（m3），此时长方体的长为2 m，高为15 m用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为15 m时，体积最大，最大
2、体积为3 m3【例2】圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使所用材料最省？【答案】当罐高与底面直径相等时，所用材料最省【解析】设圆柱的高为，底半径为，则表面积由，得，因此令，解得当时，；当时，因此，是函数的极小值，也是最小值点此时，答：当罐高与底面直径相等时，所用材料最省【例3】已知某商品进价为元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出件市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？【答案】销售价为元/件时，可获得最大利润【解析】设销售价为元/件时，利润令，解得当时，；当时，因此，是函数的极小值，也是最小值点所以，销
3、售价为元/件时，可获得最大利润答：销售价为元/件时，可获得最大利润精彩解读【试题来源】例1是人教版A版选修1-1P104习题34A组T1改编题例2：人教版A版选修1-1P104习题34A组T3；例3：人教版A版选修1-1P105习题34B组T2【母题评析】导数在实际中的应用是高中数中常见的一类典型问题，这类题主要考查如何利用导数解决利润最大问题、面积（体积）最大问题、成本最小问题、用料最省问题等这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等【思路方法】解决优化问题的基本思路：II考场精彩真题回放【例1】【2015高考陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边
4、界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：【例2】【2016高考江苏17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍（I）若则仓库的容积是多少？（II）若正四棱柱的侧棱长为6m，则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（I）312；（II）【解析】（I）由已知，得，故，故仓库的
5、容积为；（II）解法1：设，仓库的容积为，则，当时，单调递增；当时，单调递减，因此，当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大解法2：设，则连结因为在中，即 于是仓库的容积，从而令，得 或（舍）当时，是单调增函数；当时，是单调减函数故时，取得极大值，也是最大值因此，当 时，仓库的容积最大【例3】【2015高考江苏17】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和25千米
6、，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型 MNl2l1xyOCPl（I）求a，b的值；（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度【答案】（I）；（II）定义域为，千米【解析】（I）由题意知，点，的坐标分别为，将其分别代入，得，解得（II）由（I）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，则的方程为，由此得，故，设，则令，解得当时，是减函数；当时，是增函数从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时答：当时，公路的长度最短，
7、最短长度为千米【例4】【2013高考重庆文20】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大【解析】（I）因为蓄水池侧面的总成本元，底面的总成本为元，蓄水池的总成本为元，又根据题意，从而，又由，可得，故函数的定义域为（II），令，得（舍去）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在处取最大值，此时，即当时，该蓄
8、水池的体积最大【命题意图】这类題是利用导数解决应用问题中的优化问题【考试方向】生活中的实际问题包括利润最大问题、面积体积最大问题、成本最低问题、用料最省问题等导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力【难点中心】1解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学
9、语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值2例1主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积是3例4第（I）小题不清楚蓄水池体积与造价成本之间的关系，或将造价搞混淆，从而错误建立的函数关系式；第（II）
10、小题在判断函数的单调性时，可能在计算上出现错误III理论基础解题原理优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式；（2）求函数的导数，并解方程，即求函数可能的极值点；（3）比较函数在区间端点处的函数值和可能极值点处的函数值的大小，得出的最大值或最小值；（4）根据实际问题的意义给出答案IV题型攻略深度挖掘【考试方向】利用导数解决应用问题中的优化问题主要包括以下几个方面：利润最大问题、面积（体积）最大问题、成本最小问题、用料最省问题等这类试题在考查
11、题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等【技能方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点处和的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；（4）回归实际问题作答【易错指导】建立数学模型把实际问题转化为数学问题，解决问题后一定要检验解是否满足实际意义V举一反三触类旁通考向1 利润最大问题【例1】【2018山东菏泽上学期期末联考】某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件，通过改进工艺，每个配件的成本不
12、变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为，记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是（元）（I）写出与的函数关系式；（II）改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大【答案】（I） 与的函数关系式为；（II） 改进工艺后，每个配件的销售价为元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大（II）由（I）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值试题解析：（I）改进工艺后，每个配件的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元）， 与的函数关系式为（II）由得（舍）当时；时，函数在
13、取得最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大【例2】【2018江苏如皋高三下学期联考（二）】如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元已知AOB=2，设EOD=2，（I）将商业街的总收益f()表示为的函数；（II）求商业街的总收益的最大值【答案】（I）f()=2a(+2+2cos)(0,4a(4-4+8cos)(
14、4,2)；（II）在=6时，商业街总收益最大为(22+23+3)a元【解析】试题分析：（I）利用题意可得函数的解析式为f()=2a(+2+2cos)(0,4a(4-4+8cos)(4,2)，注意该函数的定义域；（II）结合（I）中函数的解析式和函数的单调性可得在=6时，商业街总收益最大为(22+23+3)a元当(0,4时，f()=2a(1-2sin)，因为a0，列表：(0,66(6,4)f()+0-f()极大值所以在=6时，f()有最大值(22+23+3)a当(4,2)时：f()=a(4-8sin)，因为a0,sin(22,1)，所以f()=a(4-8sin)0所以f()在(4,2)时单调递减所以f()f(4) ，又因为f(4)f(6)，所以当(0,2)时，在=6时，f()有最大值(22+23+3)a答：在=6时，商业街总收益最大为(22+23+3)a元【例3】【2018安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高三期中考试】养正中学新校区内有一块以O为圆心，R（单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCD区域（阴影部分）用于种植观赏植物，OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出
