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1、第 47题 数列通项公式的求法I题源探究黄金母题【例1】已知数列满足求数列的通项公式；【解析】是以为首项，2为公比的等比数列即【例2】已知数列的前项的和为，则数列的通项公式为 【答案】【解析】当时，；当时，综上：精彩解读【试题来源】例1：人教A版必修5P33A组T4改编；例2：人教A版必修5P45练习T2改编【母题评析】例1、例2考查数列通项公式的求法【思路方法】常转化为基本数列（等差数列、等比数列）来求解；或利用与的关系，用作差法求数列的通项公式II考场精彩真题回放【例3】【2017高考天津理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，（）求和的通项公式；（）求数列
2、的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确试题解析：（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由已知，得，而，所以又因为，解得所以，由，可得 由，可得 ，联立，解得，由此可得所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）解：设数列的前项和为，由，有，故，上述两式相减，得 得所以数列的前项和为【命题意图】这类题主要考查考查数列通项公式的求法，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上
3、，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等【难点中心】公式法求数列的通项公式是最基本的方法，要善于将问题转化为两种基本数列（等差数列、等比数列）来求其通项公式III理论基础解题原理如果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式即不是每一个数列都有通项公式不是每一个数列只有一个通项公式IV题型攻略深度挖掘【考试方向】对数列通项公式的考查，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等【技能方法】
4、数列的通项的常见求法：1公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项2累加法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项3累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项4构造法：根据已知式的结构特征，构造等差数列（等比数列）求解5归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明V举一反三触类旁通考向1 公式法求数列的通项使用情景：已知数列是等差数列或等比数列或已知解题步骤：已知数列是等差数列或等比数
5、列，先求出等差（比）数列的基本量，再代入等差（比）数列的通项公式；已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项【例1】已知数列满足，求数列的通项公式【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式【例2】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设（1）求；（2）求证：数列 是等比数列；（3）求使成立的最小正整数的值【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项【例3】数列的前n项和为，=1， ( n)，求的通项公式【点评】（1）已知，一般利用和差法如果已知也可以采用和差法（
6、2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验是否满足，能并则并，不并则分【跟踪练习】1已知等比数列中，公比，又分别是某等差数列的第项，第项，第项(1)求；(2)设，求数列的前项和【答案】（1）；(2) =【解析】（1）由已知有，2已知数列的前n项和()，求的通项公式【答案】【解析】由()，得3已知函数，是数列的前项和，点（）在曲线上（）求数列的通项公式；（）若，且是数列的前项和试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由（）因为 所以 得 整理得， 方法一 利用差值比较法由式得，所以因为，所以又，所以所以，所以所以Tn存在最大值 方法三 利用放缩法由式得，又因为是数列的前项和
7、，所以所以，所以存在最大值考向2 累加法求数列的通项使用情景：在已知数列中相邻两项存在：的关系；解题步骤：先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项【例4】已知数列满足，求数列的通项公式【解析】由得则所以数列的通项公式为【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式【例5】已知数列满足，求数列的通项公式【解析】由得，所以【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式【例6】已知数列，为数列的前项和，为数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：【解析
8、】（1）解法一：【点评】（1）本题，符合累加法的使用情景，所以用累加法求数列的通项（2）使用累加法时，注意等式的个数，是个，不是个【跟踪练习】1已知数列满足，求数列的通项公式【答案】【解析】由得则 所以2已知数列满足，求数列的通项公式【解析】两边除以，得，则，故因此，则【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式3【2018甘肃兰州高三第二次实战考试】已知数列满足，若，则数列的通项 _【答案】【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出
9、数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项考向3 累乘法求数列的通项使用情景：若在已知数列中相邻两项存在：的关系解题步骤：先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项【例7】【2018河南平顶山高二第一学期期末调研考试】定义数列 如下：，当 时，有定义数列 如下：，当 时，有，则 （ ）A B C D【答案】D 同理可得，则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以， 可得， 所以，故选D【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项、累乘法求解数
10、列的通项公式等知识点的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，在利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形，运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法【例8】已知数列满足，求的通项公式【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式【例9】已知数列满足【点评】（1）由已知得符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项；（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出个等式就可以了，不必写
11、个等式【跟踪练习】1【2018湖北省部分重点中学高三上学期二联】已知数列满足，则_【答案】【解析】，得，则【名师点睛】本题考查数列的通项公式本题中可得，则利用累乘法求解通项公式，即，所以求解通项公式要熟悉常用的基本方法2【2018安徽黄山高三一模】已知数列满足，且，则_【答案】【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项3已知数列满足，求数列的通项公式【答案】【解析】
12、因为，所以，则，故所以数列的通项公式为【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式考向4 待定系数法求数列的通项【例10】已知数列满足，求数列的通项公式由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式【例11】已知数列满足，求数列的通项公式【解析】设将代入式，得整理得令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项
13、公式，最后再求数列的通项公式【例12】已知数列满足，求数列的通项公式解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式【跟踪练习】1数列满足，则A B C D【名师点睛】构造等比数列，注意形，当时，变为2数列中，则 【解析】 为首项为2公比也为2的等比数列，（ n1）n1时显然n=1时满足上式，【名师点睛】先构造等比数列，再用叠加法，等比数列求和求出通项公式，3已知数列中求这个数列的通项公式【解析】，又形成首项为7，公比为3的等比数列， 则 又，形成了一个首项为13，公比为1的等比数列，则，得，【名师点睛】本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式4设数列的前项和为成立，(1)求证：是等比数列(2) 求这个数列的通项公式(2)【名师点睛】本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用5已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解【解析】，所以所以
