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1、第二章 事件的概率,第一节 概率的概念 第二节 古典概型 第三节 几何概型 第四节 概率的公理化定义,事件A的概率：在随机试验中，事件A出现的可能性大小。记为P(A)。,第一节 概率的概念,历史上若干科学家做过将一枚硬币接连掷n次，并观察正面（事件A）出现的次数的试验。下表是其试验结果的记录。 其中，频率=A出现的次数试验总次数。,从此例可看出，正面出现的频率随n的增大，且渐近稳定在0.5附近。,由频率的性质可知概率满足： 1 非负性：A，0P(A)1； 2 规范性：P()=1； 3 有限可加性：若A1,A2,An互斥，则,第二节 古典概型,若试验具有下述两特点： 1、试验的可能结果只有有限个
2、 2、每个可能结果出现的可能性相等 则称此试验为古典概型，亦称为等可能概型。,古典概型计算概率的步骤： （1）检查试验类型是否是古典概型，若是转到下一步； （2）弄清试验的样本点是什么，包含多少个样本点，即n=? （3）弄清A中的样本点是什么，包含多少个样本点，即k=? （4）利用古典概型计算公式进行计算。,对于任意一个随机事件A，设A包含k(n)个样本点，则事件A发生的概率为,例 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面出现H、反面T出现的情况。设事件A1为“恰有一次出现正面”, 求P(A).,解：我们先考虑这一试验的样本空间 = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,
3、TTT, 而A1=HTT, THT, TTH, 易见S中包含n=8个基本事件, 且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,故此试验为古典概型, 且事件A包含k=3个基本事件,故由古典概型计算公式得：P(A)=3/8,例 一口袋装有4只白球和2只红球，从袋中取两次，每次随机地取一只，考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求： (1)取到的两只球都是白球的概率； (2)取到的两只球第一个为红第二个为白的概率；,解：设以A、B分别
4、表示事件取到的两只球“都是白球”、“第一个为红第二个为白”。,(a)放回抽样情况 在袋中依次取两只球，每一种取法为一个样本点，而第一种取法的第一次取球有6只球可供选择，第二次仍有6只球可供选择，根据组合法的乘法原理，这种抽球试验的样本空间共有66个样本点；若事件A发生，由第一次有4只球可供抽取，第二次仍有4只球可供抽取，故A含有44个样本点，同理B中含有24个样本点，故,(b)不放回抽样情况 第二种取法的第一次取球有6只球可供选择，第二次有5只球可供选择，这种抽球试验的样本空间共有65个样本点，同理A含有43个样本点，B中含有24个样本点，故,例 从1，2，10共10个数中任取一数，设每个数以
5、1/10的概率被取中，取后放回，先后取出7个数，求系列事件的概率： （1）A1=7个数各不相同 （2）A2=不含10和1 （3）A3=10恰好出现两次,例(女士品茶问题) 一位常饮牛奶加茶的女士称: 她能从一杯冲好的饮料中辨别出是先放茶还是先放牛奶, 并且她在10次试验中都能正确地辨别出来, 问她的说法是否可信?,解: 假设其说法不可信, 即认为她纯粹是猜测。记事件A=10次均猜对牛奶与茶的次序。 则P(A)=1/210=0.0009766,根据“实际推断原理”的准则: 小概率事件在一次试验中是实际不会发生的, 据此原理, A实际不会发生, 与试验结果矛盾, 故假设错误, 即该女士的说法是可信
6、的。,解：记A=第k位顾客中奖，抽奖券为不放回抽样，则：,例(抽奖券问题) 设某超市有奖销售，投放n张奖券只有1张有奖，每位顾客可抽1张。求第k位顾客中奖的概率(1kn)。,第三节 几何概型,1、几何概型的定义,若试验具有下述两特点： 1、试验的可能结果有无限多个，且全部可能结果的集合可以用一个有度量(如长度、面积、体积等)的几何区域来表示； 2、每次试验中每个可能结果的出现是等可能的。 则称此试验为几何概型。,试验可看作是在某一可度量(如长度、面积、体积等)的区域内任取一点，则此时样本空间即为区域内的点的全体，而随机事件A=取到的点落在某子区域SA内的概率为,2、几何概型的计算公式,（1）将
7、样本空间对应于具体区域，并按一维、二维、三维区域，确定相应的几何度量分别为区间长度、平面区域面积、立体区域体积； （2）根据题设条件确定随机事件对应的区域，并利用几何公式或积分方法计算其几何度量； （3）利用几何概型的计算公式求出的概率。,几何概型的求解步骤,例 某公共汽车站从上午7时起，每隔15分钟有一辆公共汽车通过，现有一乘客在7:00到7:30之间随机到站候车。求： (1)该乘客候车时间小于5分钟的概率。 (2)该乘客候车时间超过10分钟的概率。,解：用T表示该乘客到达时刻，设问题(1)、(2)涉及事件为A、B，则,=7:00T7:30，,SA=7:10T7:15或7:25T7:30，,
8、SB=7:00T7:05或7:15T7:20，,则有|=30，|SA|=10，|SB|=10,所以，P(A)=P(B)=1/3,例(相遇问题) 甲、乙二人相约在中午12点到1点在预订地点会面，先到者等待10分钟就可离去，试求二人能会面的概率(假设二人在该时段到达预订地点是等可能的)。,解：设A=二人能会面；且甲、乙二人到达的时间分别为x、y。则样本空间对应于区域=(x,y)|0x1, 0y1，而事件A对应于平面区域SA=(x,y)|0x1, 0y1, |xy|1/6，如下图,例(蒲丰投针问题) 此问题由法国科学家蒲丰在1777年提出：在平面上有等距离为d(d0)的一些平行线，向平面任意投一长为
9、l(ld)的针，试求事件A=针与平行线相交的概率(假设针落在平面任何一处是等可能的)。,解：由等可能性，只需考虑两线间的情形。设针的中点为O，从O向最近的一条平行线作垂线OM，记OM长为x，针与OM的夹角为。于是针的位置由x与 完全确定，,则=(x,)|0xd/2，0/2。 事件A针与平行线相交，等价于xl/2cos， 故SA即为下右图中的阴影部分,第四节 概率的公理化定义,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率。,定义 设E为随机试验，为其样本空间，若对于每一事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应，若满足下列条件，则称P(A)为
10、事件A的概率： 1 非负性：P(A)0 2 规范性：P()=1 3 可列可加性：若A1,A2,为两两互不相容事件列，即 ij，AiAj=，则有,概率的简单性质,而Ai= ,性质1：不可能事件发生的概率为零，即P()=0。,所以由概率的非负性知P()=0。,证：设Ai=，i=1,2, ij，AiAj=，由可列可加性，得,性质2：对于有限个互不相容事件A1,A2,An的并事件发生的概率具有有限可加性。即,证：因为AB, 则B=A(BA), A(BA)=,性质3：如果事件AB，则P(B)P(A)，且有概率的减法公式：P(BA)=P(B)P(A),故由性质2得：P(B)=P(A)+P(BA),即 P(
11、BA)=P(B)P(A),再由概率的非负性知P(BA)0,即得 P(B)P(A)。,性质4：对于任何一个事件A，都有0P(A)1,证：因A，故0P(A)P()=1。,性质5：两对立事件的概率之和等于1。即,性质6：对于任意两事件A、B，都有 P(AB)P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),证：因AB=A(BA)=A(BAB), 且A(BAB)=，ABB,所以P(AB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB),显然P(AB)0，故有P(AB)P(A)+P(B)。,概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(ABC)=P(A)+P(B)
12、+P(C)P(AB)P(BC)P(CA)+P(ABC),例 设A、B是两事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7。问： (1)P(AB)如何取得最大值，最大值是什么？ (2)P(AB)如何取得最小值，最小值是什么？,解：(1)当AB时，P(AB)=P(A)=0.6为最大值。,(2)因为P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)而P(AB)1，故当P(AB)=1时，P(AB)=0.3为最小值。,例（生日问题）设某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？,解：假定一年按365天计算，每个人的生日在365天中的任一天是等可能的，都为1/365，若把365天当作365个“格
13、子”，此时“n个人的生日各不相同”，就相当于“恰有n个格子，其中各住一人”。 令A=n个人中至少有两个人的生日相同 B=n个人的生日全不相同,用前面的公式可以计算此事出现的概率为 =10.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日。,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476。,人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的。实际上，这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大。当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的。,例 在12000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?,解: 设 A 为事件“取到的数能被6整除”, B为事件 “取到的数能被8整除”, 则所求概率为,于是所求概率为,
