[数学]现在控制理论第三章

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1、现代控制理论,2,3,第3章 控制系统的状态空间分析,3.1 线性系统能控性和能观测性的概述 3.1 线性连续系统的能控性 3.2 线性连续系统的能观测性 3.3 对偶性原理 3.4 系统的能控性和能观测性与传递函数的关系 补充：系统的能控标准形和能观测标准形 实现问题,1、能控性和能观性是现代控制理论两个重要的基本概念。1960年由卡尔曼首先提出。,-卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现代控制理论的主要奠基人之一。首先引入状态空间分析法，提出能控能观、最优调节器、卡尔曼滤波、最优控制的反问题等。,6,2、能控性是u(t)支配X(t)的能力，回答u(t)能否使X(t)作任意转移的问题

2、；,7,3、能观性是Y(t)反应X(t)的能力，回答是否能通过Y(t)的量测来确定X(t)的问题。,为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?,8,经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。 因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。 反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。 此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。 因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是

3、实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。,9,现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。 此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。,古典中：C(s)既是输出又是被控量,(1)、 C(s)肯定与R(s)有关系 ， (2)、 C(s)肯定是可测量的， 因此，只要满足稳定，肯定能控能观,现代中：,被控制量是X（状态变量）,问题： 1、每个状态X (t)

4、是否受u(t)控制 2、状态变量在系统内部，能否通过观测Y (t)来测量X (t),分析： 1、x1与输入u无关，不能控，x2能控， x1, x2不完全能控。,2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通过y能确定x1或x2 ，能观测。,3、能控能观是最优制和最优估计的设计基础。,-,-,13,3.1 线性连续系统的能控性 本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控性问题。 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义,重点!,要理解!,15,本节首先从物理直

5、观性来讨论状态能控的基本含义,然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为: 能控性的直观讨论 状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性,16,能控性的直观讨论 状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。 否则,就称系统为不完全能控的。 下面通过实例来说明能控性的意义

6、 。,状态可控否？,18,19,状态可控否？,21,该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。,例 某电桥系统的模型如图所示 。,22,由电路理论知识可知, 若图 所示的电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。,若图所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。,23,由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电

7、压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:,由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。,24,例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。,25,由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有,其中代表平衡工作点附近的变化量。,26,选上述方程中变化量h1和h2为状态变量,将状态变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有

8、,解上述状态方程,可得,27,由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。,28,补充例 给定系统的状态空间模型与结构图分别为,本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)

9、不能在有限时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。,3.1.1 状态能控性的定义 由状态方程 x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第2章的状态方程求解公式可知, 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。 对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。,状态能控性的定义(2/5)能控性定义,定义4-1 若线性连续系统 x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)

10、对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T), 可以找到一个控制量u(t), 能在有限时间t0,t1内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0, 则称t0时刻的状态x(t0)能控; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0时刻状态完全能控;,状态能控性的定义(3/5)能控性定义,若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能控,简称为系统能控。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。,32,一维系统状态可控,二维系统状态可控,时间不是问题，任意

11、,x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),状态能控性的定义(4/5),对上述状态能控性的定义有如下讨论: 1. 控制时间t0,t1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。 对于定常系统,该控制时间与t0无关(故，简便起见t0=0)。 所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控”,而为“某一时刻状态完全能控,则系统状态完全能控”。,状态能控性的定义(5/5),2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的

12、每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。 3. 在状态能控性定义中,对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件。 在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间,因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。,35,3.1.2 线性定常系统的状态能控性判据,定理3.1.1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵 c = B AB A2B An 1B 的秩为n，即 rank c = n 证明 已知状态方程的解为,在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 =

13、 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(T ) = 0。则有,36,因T是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令,利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理 eA = 0() I + 1() A + + n1() A n1,37,若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出 0，1，n 1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank c =rank B AB A2B An 1B = n,c :能控性检验矩阵,讨论c的形式,38,P70 定理3.1.1:系统能控，要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank c =rank B AB A2B An 1

14、B = n,SISO: c为n维方阵，满秩，行列式不为零,MIMO:c为n行m列阵，行满秩， c Tc为n维方阵 ，c Tc的行列式不为零,SISO:计算c的行列式,MIMO:计算 c Tc的行列式,39,SISO:计算c的行列式,MIMO:计算 c Tc的行列式,MATLAB的应用：,uc= ctrb(A,B) rank(uc); or det(uc),uc= ctrb(A,B) rank(uc); or det(uc*uc),矩阵秩的定义,矩阵的秩,定义3.2 设在矩阵A中有一个r 阶子式Dr0，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么Dr 称为矩阵 A 的最高阶非零子式.数 r

15、称为矩阵 A 的秩,记作R(A)=r .,对于mn 矩阵A, 显然有,特别的规定 R(O)=0.,（1）R(AT)=R(A);,（2）R(Amn) minm,n .,设A为mn矩阵，当R(A)= m时，称A为行满秩矩阵； 当R(A)= n时，称A为列满秩矩阵.,若A为n阶方阵，且R(A)= n，则称A为满秩矩阵.它既是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵.显然，方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵.,若A为n阶方阵，且R(A) n，则称A为降秩矩阵.由此 方阵A不可逆的充分必要条件是A为降秩矩阵.,非奇异矩阵又称为满秩矩阵，而奇异矩阵又称为降秩 矩阵.,例如,显然， A为满秩矩阵，而B则为降秩矩阵.,

16、例1 求下列矩阵的秩,解 在A中，容易看出：一个2阶子式， A的3阶子式只有一个|A| ，经计算可知A ,因此 R（A）.,由于B是一个阶梯形矩阵，其非零行有行，故可知B的所有阶子式全为零.而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的阶行列式,因此 （B）.,44,45,例 设系统的状态方程为 判断其状态能控性。,解：系统的能控性矩阵为 c = B AB A2B =,rank c = 2 n 所以系统状态不完全能控。,2 1 1 1 1 1,3 2 2 2 2 2,5 4 4 4 4 4,都与u有关，所以状态完全能控，即能控,47,代数判据(17/18)-例4-2,思考：试判断如下系统的状态能控性,代数判据(18/18),将上述矩阵的第3