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1、点、线对称问题,对称问题,中心对称问题,点关于点的对称,线关于点的对称,轴对称问题,点关于线的对称,线关于线的对称,例1. 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。,一、点关于点对称,解题要点：中点公式的运用,A(x0,y0),P(a,b),一般地，点 A(x0,y0)关于点 P(a,b)的对称点是 (2a-x0，2b-y0),练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/的坐标是( ),-4,-1,练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以P为中点的直线方程_,分析：用中点坐标公式可求直线在坐标轴的截距分别为2和6用截距式写出方程为 ，即3x+y
2、-6=0,例2.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。,二、直线关于点对称,法一：在 l 1上找两个特殊点，求出各点关于P的对称点，再求出l 2方程,l2,M,P(m,n),M,l1,N,N,法二： l 2上的任意一点的对称点在l 1上,f (x,y)=0,M(x,y),P(m,n),M (2m-x,2n-y),f (2m-x,2n-y)=0,法三： l 1 / l 2且P到两直线等距。,P(m,n),l2,l1,d2,d1,例3.已知点M的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y-2=0,求点M关于直线l 的对称点M的坐标。,三、点关于直线对称,
3、M(x1,y1),M(x,y),l,P,练习4：求点A（-1，3）关于直线 l：x+y-1=0 的对称点B,几种特殊的对称：,点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：,关于直线 x=m,p(-x , -y),p(x , -y),p(-x , y),p(y , x),p(-y , -x),p(2m-x , y),P(x,y),关于原点,关于 x 轴,关于 y 轴,关于直线 y=x,关于直线 y=-x,关于直线 y=n,p(x , 2n-y),练习5：已知点A（-4，6），则 (1) A关于x轴的对称点A/坐标是 （ ） (2) A关于y轴的对称点A/坐标是 （ ） (3) A关于直线y=x轴
4、的对称点A/坐标是 （ ）,6，-4,-4，-6,4，6,例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线l 的方程。,四、直线关于直线对称,解题要点：由线关于线对称转化为点关于线对称,思考：若l1/l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？,C1,l,C2,M(x,y),设直线 则 l 关于原点对称的直线是 l 关于 x 轴对称的直线是 l关于 y 轴对称的直线是 l关于 y=x对称的直线是 l关于 y=-x 对称的直线是 l关于 x=a 对称的直线是_,直线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的直线方程分别为：,几种特殊的对称：,五、角分线问题,例：已
5、知ABC的顶点A（4, 1）,B（4, 5）,角B的内角平分线BE所在直线的方程为 ，求BC边所在直线方程。,B(-4,-5),A(4,-1),M（0,3）,x,y,O,E,变式：ABC的一个顶点是A（3，-1）， B, C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标。,x,y,O,A（3,-1）,A1(-3,-1),A2(-1,3),B(0,5),C(-5,-5),例2：一条光线经过点P（2，3），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点Q（1，1），求光线的入射线和反射线的方程。,x,y,O,六、光线的问题,例3：光线从点P（3，4）射出，到达x轴上的点Q后，被x轴反射到y轴上的点M ，又被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D（1，6），求QM所在直线方程。,x,O,y,练习6：,例4：已知x,y满足x+y=0，求 的最小值。,七、解决求最值的有关问题,3、在x轴上找点P，使它到点A（1,3）， B（3,1）的距离最小，并求最小距离。,一、点关于点对称,二、点关于直线对称,三、直线关于点对称,四、直线关于直线对称,五、角分线问题,六、反射问题,七、最值问题,两条直线的位置关系 -对称,四类对称,常见运用,
