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1、第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用,基础知识梳理,非零,(2)范围 向量夹角的范围是 ，a与b同向时，夹角 ；a与b反向时，夹角 . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ，则a与b垂直，记作 .,基础知识梳理,0180,0,180,90,ab,【思考提示】 不正确求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.,基础知识梳理,2平面向量的数量积 已知两个非零向量a、b，a(x1，y1)，b(x2，y2),基础知识梳理,基础知识梳理,|a|b|cos,0,x1x2y1y2,(ab),a(b),acbc,|a|cos,|b|cos,b在a方向上的投影|b|cos的,乘积,
2、3.与平面向量的数量积有关的结论 已知两个非零向量a、b，a(x1，y1)，b(x2，y2),基础知识梳理,基础知识梳理,2.如何利用向量的数量积证明ab? 【思考提示】 若ab|a|b|或ab|a|b|，则ab.,基础知识梳理,思考？,4.向量方法解决几何问题的步骤 (1)建立几何与 的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为 问题； (2)通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系,基础知识梳理,向量,向量,向量,1(2009年高考重庆卷改编)已知|a|1，|b|6，(a2b)(ba)68，则向量a与b的夹角是(
3、 ) 答案：C,三基能力强化,2已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则a(bc)等于( ) A(26，78) B(28，42) C52 D78 答案：A,三基能力强化,3已知a(2,1)，b(3，x)，若(2ab)b，则x的值是( ) A3 B1 C1或3 D3或1 答案：C,三基能力强化,4(教材习题改编)若|a|2，|b|5，ab3，则|2ab|_.,三基能力强化,答案：1,三基能力强化,1数量积的运算要注意a0时，ab0，但ab0时不能得到a0或b0，因为ab时，也有ab0. 2若a、b、c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、c满足ab
4、ac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角； (2)求|ab|.,【思路点拨】,课堂互动讲练,平面向量数量积的定义,夹角公式,求模公式,课堂互动讲练,【名师点评】 正确地进行数量积的运算，避免错用公式，如a2|a|2是正确的，而ab|a|b|和|ab|a|b|都是错误的,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,课堂互动讲练,注意：(1)x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件
5、，后者是它们垂直的充要条件,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2009年高考江苏卷)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin) (1)若a与b2c垂直，求tan()的值； (2)求|bc|的最大值； (3)若tantan16，求证：ab.,【思路点拨】,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【规律小结】 向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直,课堂互动讲练,1平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角
6、问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题 2物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，故可以用向量的知识来解决某些物理问题,课堂互动讲练,课堂互动讲练,如图，ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间有何关系吗？,【思路点拨】 第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动
7、讲练,课堂互动讲练,【规律小结】 用向量法解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算研究点、线段等元素之间的关系；最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论这就是向量法解决平面几何问题的“三部曲”,课堂互动讲练,向量与三角函数结合是高考命题的一个热点，在处理这类问题时，除注意三角公式的合理应用外，要特别注意有关向量的数量积、向量的夹角、向量模的公式的准确使用,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【思路点拨】 先利用向量运算求得函数f(x)的解析式，再求f(x)的周期和单调区间,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【思维总结】 本题中通过向量的坐标运算
8、得到复合函数yloga2sin(2x)，根据复合函数“同增异减”的单调原则进行求解，在解题过程中要注意定义域的限制，即单调区间必须在g(x)0的前提下进行判断,课堂互动讲练,课堂互动讲练,高考检阅,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1对数量积概念的理解 (1)两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件,规律方法总结,(2)两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“” (3)b在a上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于0. 2.对数量积运算律的理解 (1)当a0时，由ab0不一定推出b0，这是因为对任一个与a垂直的向量b，都有ab0.,规律方法总结,当a0时，abac也不一定推出bc，因为由abac，得a(bc)0，即a与(bc)垂直也就是向量的数量积运算不满足消去律 (2)对于实数a，b，c，有(ab)ca(bc)，但对于向量来说，(ab)c与a(bc)不一定相等，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)c与a(bc)不一定相等,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
