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1、,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,( P57 题 4 (2) ),解答见课件第二节 例5,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数
2、与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,二、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 3 . 若,推论: 若,且,则,( P46 定理 5 ),利用保号性定理证明 .,说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,定理 4 . 若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .,说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,
3、推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例2. 设 n 次多项式,试证,证:,为无穷小,(详见书P44),定理 5 . 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,由极限与无穷小关系定理 , 得,因此 为无穷小,定理6 . 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .,x = 3 时分母为 0 !,例3. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例4.,若,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,例6 . 求,
4、解:,分子分母同除以,则,“ 抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数 ),( 如 P47 例5 ),( 如 P47 例6 ),( 如 P47 例7 ),三、 复合函数的极限运算法则,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,例7. 求,解: 令, 仿照例4, 原式 =,( 见P34 例5 ),例4,例8 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合
5、函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 要求分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,Th1,Th2,Th3,Th4,Th5,Th7,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,4. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,因此,作业,P49 1 (5)，(7)，(9)，(12)，(14) 2 (1)，(3) 3 (1) 5,第六节,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,
