2-3 矩形波导,通常将由金属材料制成的、矩形截面的、内充空气介质的规则金属波导称为矩形波导, 它是微波技术中最常用的传输系统之一 由于矩形波导不仅具有结构简单、机械强度大的优点，而且由于它是封闭结构，可以避免外界干扰和辐射损耗；因为它无内导体，所以导体损耗低，而功率容量大在目前大中功率的微波系统中常采用矩形波导作为传输线和构成微波元器件 ,设矩形波导的宽边尺寸为a, 窄边尺寸为b, 并建立如下图 所示的坐标一、求解波动方程,根据上节分析结论，导行波分布函数方程：,这里采用直角坐标系：,(2.1-29),(2.1-31),（2.2-15),（2.2-16),纵向分量波动方程为：,纵向分量求解：,纵向分量波动方程可写为：,采用分离变量法：,（2.3-5),（2.3-6),代入2.3-5 ：,上式成立必须满足（Kx、Ky为横向截止波数） ：,得到：,（2.3-10),（2.3-11),通解为：,（2.3-12),（2.3-13),或：,（2.3-14),（2.3-15),至此，可以得到：,（2.3-16),（2.3-17),(一)TM波 （1）场分量的表示式 此时Hz=0, Ez≠0, 且满足,二、 矩形波导中的场 由上节分析可知, 矩形金属波导中只能存在TE波和TM波。
下面分别来讨论这两种情况下场的分布根据边界条件（波导管壁内表面电场切向分量为零）求解上式中待定常数：,则有：,根据上节得到TM模横向场表达式：,在直角坐标系下：,TM波的全部场分量表示式为：,其中：,Kc为矩形波导TM波的截止波数, 显然它与波导尺寸、传输波型有关m和n分别代表TM波沿x方向和y方向分布的半波个数, 一组m、n对应一种TM波, 称作TMmn模（Emn模）；但m或n均不能为零, 否则场分量全部为零因此，矩形波导中不能存在TMm0模、TM0n模和TM00模；TM11模是最低次模（截止波长最长或截止频率最低）, 其余称为高次模①存在无穷多个波型与m、n对应，其线性组合（叠加）也是场解每一对（m、n）对应一种波型，记为TMmn截止波数： ②对于TM波，m、n中任意一个不能为0，否则场全为0 所以TM00、TM0n、TMm0不存在最低波型为TM11 ③TM波型的场沿z轴为行波，沿x、y轴为纯驻波分布（正弦、余弦的分布规律） m 场量沿x轴[0,a]出现的半周期（半个纯驻波）的数目； n 场量沿y轴[0,b]出现的半周期的数目 ④j 相位关系 Ey－Hx、Ex－Hy z轴有功率传输 Ez－Hx、Ez－Hy x、y轴无功率传输 所以行波状态下，沿波导纵向（z轴）传输有功功率、横向（x、y轴）无功功率。
小结：,2) 场结构 为了能形象和直观的了解场的分布（场结构），可以利用电力线和磁力线来描绘它电力线和磁力线遵循的规律： 力线上某点的切线方向 该点处场的方向 力线的疏密程度 场的强弱 电力线 发自正电荷、止于负电荷，也可以环绕着交变磁场构成闭合曲线，电力线之间不能相交在波导壁的内表面（假设为理想导体）电场的切向分量为零，只有法向分量（垂直分量），即在波导内壁处电力线垂直边壁 磁力线 总是闭合曲线，或者围绕载流导体，或者围绕交变电场而闭合，磁力线之间不能相交，在波导壁的内表面上只能存在磁场的切向分量，法向分量为零 电力线与磁力线相互正交2）场结构,TM11模场结构图,TM21模场结构图,(二)TE波 （1）场分量的表示式 此时Ez=0, Hz≠0, 且满足,根据边界条件（波导管壁内表面磁场法向分量为零）求解上式中待定常数：,则有：,TE波的全部场分量表示式为：,式中, 为矩形波导TE波的截止波数, 它与波导尺寸、传输波型有关m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数, 一组m、n, 对应一种TE波, 称作TEmn模; 但m和n不能同时为零, 否则场分量全部为零。
因此， 矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模; 其中TE10模是最低次模（主模）, 其余称为高次模TE10场分量表示式为：,上式中m、n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数; 每一对（m，n）对应一种波型，记为TEmn（Hmn）; 对于TE波，m、n中任意一个可以为0，但是不能同时为0; 所以能够存在TEm0、TE0n、TEmn; 矩形波导中TE波的最低次波型(截止波长最长或截止频率最 低）为TE10（ab），其余称为高次模； 场沿z轴为行波，x、y轴为纯驻波分布； 式中的j表示相位关系：表达式相差j，表示时间上相差1/4周期，相位相差π/2，空间上相差1/4波导波长与波导尺寸、传输波型有关,小结：,例如：Ex和Hy的表达式均含j，表示两者同相，构成了沿z轴 正方向传播的行波（坡印廷定理），即沿z轴有功率传 输； －Ey和Hx也同相，也构成了沿z轴正方向传播的行波； Ex和Hz之间以及－Ey和Hz之间，表达式都相差了一个 j，即相位相差π/2，由于其坡印廷矢量方向为x轴和y轴 方向，所以沿x轴和y轴无有功功率的传输，电磁场呈纯 驻波分布状态 综上所述，在行波状态下，沿矩形波导的纵向（z轴）传输的是有功功率，而在矩形波导的横向（x和y轴）只存在无功功率，即没有功率的传输。
2）场结构,TE10模场结构图,TE20模场结构图,TE02模场结构图,TE11模场结构图,TE21模场结构图,三、 矩形波导的传输特性 1) 截止波数、截止波长、截止频率 由前述分析，矩形波导TEmn和TMmn模的截止波数均为,对应截止波长和截止频率为,TMmn和TEmn波型的相移常数、波导波长表示式相同，为：,其中 λ为工作波长 ,2）波导波长和相移常数,在导行波中截止波长λc最长的导行模称为该导波系统的主模, 波导能够进行主模的单模传输对均不为零的m和n, TEmn和TMmn模具有相同的截止波长和λc截止波数Kc，Kc和λc相同但波型不同称为简并模, 虽然它们场分布不同, 但具有相同的传输特性 TE0n和TEm0是非简并模；其余的TEmn和TMmn都存在简并模: 若a=b，则TEmn 、TEnm、TMmn和TMnm是简并模；若a=2b，则TE01与TE20，TE02和TE40，TE50、TE32和TM32是简并模 Kc和λc是波导横截面尺寸和波型的函数当工作波长λ小于某个模的截止波长λc时, β2＞0, 此模可在波导中传输, 故称为传导模; 当工作波长λ大于某个模的截止波长λc时, β2＜0, 即此模在波导中不能传输, 称为截止模。
一个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率（或波长）下图给出了标准波导BJ-32各模式截止波长分布图图 BJ-32波导各模式截止波长分布图,[例] 设某矩形波导的尺寸为a=8cm, b=4cm; 试求工作频率在3 GHz时该波导能传输的模式 ,可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模[例] 设某矩形波导的尺寸为a=8cm, b=4cm; 试求工作频率在3 GHz时该波导能传输的模式 解: 由 f=3 GHz，得,3）相速和群速 TMmn和TEmn波型的相速和群速表示式相同：,4）波型阻抗 TMmn和TEmn波型阻抗为：,5）尺寸选择——矩形波导的工作波型图,基于前面的定义，根据波导横截面尺寸、工作波长、截止波长之间关系，构成矩形波导工作波型图根据不同要求，可利用波型图对波导的横截面尺寸和波导波长作出选择已知传播条件为：,整理得到临界线（其上的点即截止波长）方程为：,TE10,矩形波导的工作波型图,四、 主模TE10的场分布及其工作特性 矩形波导的主模为TE10模, 因为该模具有场结构简单、 稳定、频带宽和损耗小等特点, 所以实用时几乎毫无例外地工作在TE10模式。
下面着重介绍TE10模式的场分布及其工作特性一)TE10模的场分布 m=1, n=0, Kc=π/a， 可得TE10模各场分量表达式,由此可见, 场强与y无关, 即各分量沿y轴均匀分布, 而沿x方向的变化规律为,其分布曲线如图 （a）所示同理沿z轴分布曲线如图（b）所示 波导横截面和纵剖面上的场分布如图（c）和（d）所示由图可见, Hx和Ey最大值在同截面上出现，电磁波沿z方向按行波状态变化；Ey、Hx和Hz相位差为90°, 电磁波沿横向为驻波分布矩形波导TE10模场分量的分布规律 (a) 场分量沿x轴的变化规律； (b) 场分量沿z轴的变化规律； (c) 矩形波导横截面上的场分布； (d) 矩形波导纵剖面上的场分布.,某一时刻TE10模完整的场分布如图所示，随时间的推移，场分布图以相速 沿传输方向移动矩形波导TE10模的场分布图,(二)TE10模的传输特性 ① 截止波长与相移常数: TE10模截止波数为 于是截止波长为 而相移常数为,② 波导波长与波阻抗： 对TE10模, 其波导波长为,而TE10模的波阻抗（空气介质）为,③ 相速与群速： 由定义，可得TE10模的相速vp和群速vg分别为,式中, v为自由空间光速。
,④ 传输功率与功率容量: 根据规则波导传输功率一般表示式，矩形波导TE10模的传输功率为 ,其中：,x=a/2处|Ey|最大，为避免击穿，应有：,其中,Ebr为波导介质的击穿电场幅值因空气的击穿场强为30kV/cm, 故空气矩形波导的功率容量为, 可见: 波导尺寸越大, 频率越高, 则功率容量越大而工作波长趋向于截止波长时，功率容量趋向0而当负载不匹配时, 由于形成驻波, 电场振幅变大, 因此功率容量会变小, 则不匹配时的功率容量P′br和匹配时的功率容量Pbr的关系为,其中, ρ为驻波系数由此可得波导（空气介质）传输TE10模时的功率容量为,功率容量对尺寸选择的影响：,即工作波长λ与波导尺寸应满足下列关系式：,⑤ 损耗和衰减特性: 当电磁波沿传输方向传播时, 由于波导金属壁的热损耗和波导内填充的介质的损耗必然会引起能量或功率的递减对于空气波导, 由于空气介质损耗很小,通常可以忽略不计, 而导体损耗是不可忽略的 ,式中, RS为导体表面电阻, 它取决于导体的磁导率μ、 电导率σ和工作频率f三）矩形波导尺寸选择原则 选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素: 1) 波导带宽问题 保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的TE10模传播, 其它高次模都应截止。
为此应满足:,λcTE20＜λ＜λcTE10 λcTE01＜λ＜λcTE10,将TE10模、TE20模和TE01模的截止波长代入上式得,a＜λ＜2a 2b＜λ,λ/2＜a＜λ 0＜b＜λ/2,或写作,2) 波导功率容量问题 在传播所要求的功率时, 波导不致于发生击穿根据前述分析，适当增加b可增加功率容量, 故b应尽可能大一些3) 波导的衰减问题 通过波导后的微波信号功率不要损失太大根据前述分析，增大b也可使衰减变小, 故b应尽可能大一些 综合上述因素, 矩形波导的尺寸一般选为 a=0.7λ b=(0.4-0.5)a 通常将b=a/2的波导称为标准波导; 为了提高功率容量, 选b＞a/2这种波导称为高波导; 为了减小体积, 减轻重量, 有时也选b＜a/2的波导, 这种波导称为扁波导四) 壁电流分布,当波导内传输电磁波时，波导内壁上将会感应高频电流称为壁电流由于假定波导壁是由理想导体构成，故壁电流只存在于波导的内表面，称为表面电流已知管壁内表面的表面电流密度矢量与内表面切线方向的磁场强度关系为：,对于TE10波型，磁场只有Hx和Hy两个分量，瞬时值表达式为：,在x=0的侧壁上：,在x=a的侧壁上：,如右图所示，,在y=0的下壁上，法向为+y轴向，。