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1、引言 拉格朗日插值 差商与牛顿插值 差分与等距节点插值* 埃尔米特插值 分段低次插值 样条插值,第5章 插值法,1 引 言,一、问题背景,应用：例如程控加工机械零件等。,二、一般概念,三、几何意义,本章：求出插值多项式, 分段插值函数, 样条插值函数； 讨论P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计.,证明: 设,将节点代入:,四、插值多项式的存在唯一性,由于节点互异:,方程组有且只有唯一解.,2 拉格朗日插值,一、线性插值和抛物插值,对给定插值点,求出形如,的插值多项式的方法有多种.,二、拉格朗日插值多项式,由插值多项式的存在唯一性,取m=0得：,练习 给定数据表,求三次拉格朗日插值多项式L3(
2、x).,思考: 进一步求函数x=1.3处的近似值?,思考: 误差估计?,三、插值余项与误差估计,证明： P26,例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用线性插值计算和抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.,例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.,3 差商与牛顿插值多项式,一、差商及其性质,拉格朗日插值优缺点.,差商的基本性质:,由(3.4)得差商表:,可估计误差,若增加数据
3、点(6,10), 求五次牛顿插值多项式?,P32例4,*4 差分与等距节点插值,上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分,一、差分及其性质,差分的基本性质:,差分表:,2f0 2f1 2f2 ,f0 f1 f2 f3 ,f0 f1 f2 f3 f4 ,0 1 2 3 4 ,2 3 ,fk,k,二、等距节点插值公式,P34,5 Hermite插值,P38,另一类三次Hermite插值多项式见P36.,上讲内容小结,关,关,关,6 分段低次插值,一、高次插值的病态性质-龙格(Runge)现象,例如：对函数 在区间-5，5内进行插值，并对比插值结
4、果。,二、分段线性插值,所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).,解决: 方法一、采用分段低次插值 方法二、在各节点处不仅给出其函数值，还给出其各阶导 数值，即分段Hermite插值法。 方法三、采用分段光滑插值，即样条插值。 方法四、采用有理逼近。,类似地，为求 f(x) 的近似值，也可选取距 x 最近的三个结点 xk-1, xk, xk+1进行二次插值，即取:,这种插值称为分段二次插值（又称分段抛物插值）,三、分段二次插值,四、分段三次埃尔米特插值,分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足,7 样条插值,问题背景,一、样
5、条插值的概念,其它边界条件: “非扭结”边界条件，即第一、第二段多 项式的三次项系数相同，最后一段和倒数第二段三 次项的系数相同。 “matlab中的spline(x,y)”,二、三次样条插值函数的建立,P42,系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有唯一解。,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,f(x),H(x),S(x),三次样条插值的算法步骤： 计算 j , j , gj ; 计算 Mj (追赶法等) ; 写出样条函数S(x); 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 j ) ; 由该区间上的 Sj(x) 算出 f(x) 的近似值。,三、误差界与收敛性,
