《[理学]高等数学二》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]高等数学二（133页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学,第二章 导数与微分,导数(Derivative)是反映函数相对于自变量 的变化快慢程度,微分(Differential)指明了当 自变量有微小变化时引起函数变化的大小, 它们是微分学(Differential calculus)的重要 概念,在理论研究和生产实践中有着非常广 泛的应用.在这一章里我们主要介绍导数和 微分的概念和它们的计算方法.,第二章函数的导数与微分,绪,第一节 导数的概念 第二节 函数的微分法 第三节 高阶导数 第四节 隐函数和参数方程求导 第五节 函数的微分 第二章小结,第二章函数的导数与微分,目 录,学习要点： 1.函数在一点的导数和导函数的定义； 2.左、右导
2、数； 3.导数的几何与物理意义。 绪 导数的概念是函数变化率概念的一个精确描述,是变量的变 化速度在数学上的抽象,是研究函数各种性态的有效工具. 1817年捷克数学家波尔察诺在他发表的论文纯粹分析证 明中第一个把函数的导数定义为当自变量增量趋于零时, 函数增量与自变量增量比值的极限,并引入了左右导数的概 念 。,第一节 导数的概念,第二章函数的导数与微分,一、引例 导数是客观世界中许多自然现象在数量关 系上抽象出来的概念.它源于对切线、极值 和运动速度等问题的处理，如物体运动的瞬 时速度,曲线的切线斜率,非恒稳的电流强度 等都是导数的问题.,实例1 变速直线运动的瞬时速度.,设某质点沿直线作变
3、速运动,其运动方程为s=f(t),求质点在t0时刻的瞬时速度.,设质点于时刻t在数轴上的位置的坐标为s,取从,时刻t0到t0+t这样一个时间间隔，在这段时间内,质点的平均速度为,于是质点在时刻t0的瞬时速度为,实例2 曲线的切线斜率,设曲线的方程为y=f (x) ,在点M(x0,y0)处的附近取,一点N(x0+x,y0+y)，那么割线MN的斜率为,当点N沿曲线趋向M时，割线,在M点处的切线，此时的切线,MN的极限位置MT就曲线上,斜率为,二、导数定义,1.定义1:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在x0处取得增量x(x0+x)点仍在该邻域）,时，相应地函数取得增量y=f(x
4、0+x)-f(x0),若极限,存在，则称函数f (x)在点x0处可导，并称这个极限为,函数在点x0 处的导数(derivative),记为,即,变速直线运动的瞬时速度:,曲线的切线斜率:,2.定义1的等价形式：,3.左、右导数:函数在点x0处的导数是一个极限，而,极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，,记,这两个极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数(left,derivative)和右导数(progressive derivative)，,函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是f (x)在点,x0处左导数和右导数都存在且相等。,4.导函数的定义:如果函数y=f(x)在区间
5、I内每一点x,都可导，则称函数y=f(x)在区间I内可导。此时，对任,何点xI都对应一个导数值这一对应关系确定了一个,新的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作,5.求导数的步骤：,(1)求增量,(2)算比值,(3)求极限,例1,解,例2. 求函数,解:,对一般幂函数,( 为常数),例3,解,特别地,例4,解,特别地,例5,解,类似可证得,例6,解,三、导数的几何意义与物理意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,例7 求曲线,在点（1，1）处的切线和法线方程。,解,所以切线方程为,所以法线方程为,例8,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,*练习：问曲
6、线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0,0) 有垂直切线,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点x连续未必可导.,反例:,在x = 0处连续 ,
7、但不可导.,即,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,学习要点： 1.四则运算求导法则； 2.复合函数求导法则； 3.导数基本公式。 绪 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的 函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函 数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本 节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数初等函 数的
8、导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。,第二节 函数的微分法,第二章函数的导数与微分,一、四则运算求导法则,定理1:,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,则,推论:,( C为常数 ),解,例1,例2 y=ex (sin x+cos x) 求y,=2excos x,解,y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+e x,(cos x -sin x),例3 ysec x 求y,例3,解,二、反函数的求导法则,定理2：,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性
9、知,且由反函数的连续性知,因此,则,例5 求(arctan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例4 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3：,在点,可导.,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,则,例6,例7. 求下列导数:,解: (1),(2),解,函数,是由,y,=,sin,u,复合而成的,因此,dx,du,du,dy,dx,dy,=,例8,例9,解,解,四、基本求导法则与导数公式,1.
10、常数和基本初等函数的导数,2. 导数的四则运算法则,( C为常数 ),4. 复合函数求导法则,3.反函数求导法则,例10.,求,解:由于,例11.,设,解:,求,例12.,求,解:,例13. 若,存在 , 求,的导数.,例14,解,本节小结,注意:,分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.,反函数的求导法则（注意成立条件）;,复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;,已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,关键: 正确分解初等函数的复合结构.,学习要点： 1.高阶导数的定义； 2.高阶导数数的求法； 3.特殊函数的n阶导数。,
11、第三节 高阶导数,第二章函数的导数与微分,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,所以y 3y10,证明,例1,设,求,解:,依次类推 ,例2.,思考: 设,问,可得,例3. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,例4. 设,求,例5. 设,解:,一般地 ,类似可证:,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,例6.,求,解:
12、设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,例7. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),解:,学习要点： 1.隐函数求导方法； 2.取对数求导法； 3.参数方程所确定的函数求导法。,第四节 隐函数和参数方程求导,第二章函数的导数与微分,一、隐函数的导数,显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数
13、为,隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数,(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,方程中每一项对x求导得,解,例2 求由方程y52yx3x70 所确定的隐函数yf(x)在 x0处的导数y|x0,因为当x0时 从原方程得 y0 所以,5y4y2y121x60,方程两边分别对x求导数得,解,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,解,上式两边再对x求导 得,的二阶导数,例4,方程两边对x求导 得,y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求
14、幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数,此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数,设yf(x) 两边取对数 得 ln yln f(x) 两边对x 求导 得,对数求导法,例5 求yx sin x (x0)的导数,解法二,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.,解法一,上式两边对x 求导 得,两边取对数 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x ,于是,),1,sin,ln,(cos,x,x,x,x,y,y,+,=,上式两边对x求导 得,说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的,例6,先在两边取对数 得,解,于是,.,设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x) 若xj(t)和yy(t)都可导 则,二、由参数方程所确定的函数的导数,即,或,.,解,例7,求椭圆,=,=,t,b,y,t,a,x,sin,cos,在相应于,4,p,=,t,点处,的切线方程,.,所求,切线的斜率为,a,b,dx,dy,t,-,=,=,4,p,.,切点的坐标为,2,2,4,cos,0,a,a,x,=,=,p,容易漏掉,的函数yf(x)的二阶导数,解,(t2n
