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1、复变函数,Complex Analysis,1,2,引言 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”
2、。,3,复变函数论的全面发展是十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的
3、研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。,4,复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。,5,第一章 复数与复变函数,1 复数及代数运算,6,1. 复数的
4、概念,在实数范围, 方程 x2=-1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =-1 从而i是方程x2=-1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z),7,当x=0,y0时, z=iy称为纯虚数; 当y=0时z=x+0i, 将其看作是实数x. 两个复数相等, 是指的它的实部和虚部分别相等. 复数z=0, 是指的实部和虚部都是0. 2. 复数的代数运算 两个复数z1=x1+iy1, z2=x2+iy2的加法, 减法和乘法定义为 (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2
5、)+i(y1y2) (1.1.1) (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) (1.1.2) 称上面二式右端为z1,z2的和,差与积 当z1,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致.,8,称满足 z2z=z1 (z20) 的复数z=x+iy为z1除以z2的商,复数运算满足交换律,结合律和分配律: z1+z2=z2+z1, z1z2=z2z1; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3), z1(z2z3)=(z1z2)z3; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,9,把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z,
6、10,2 复数的几何表示,1. 复平面 由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复数与复平面上的点成一一对应, 并且把“点z“作为“数z“的同义词, 从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.,11,在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度
7、称为z的模或绝对值, 记作,O,x,y,x,y,q,P,z=x+iy,|z|=r,12,显然, 下列各式成立,13,在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角, 记作 Arg z=q 这时, 有,14,任何一个复数z0有无穷多个幅角, 如果q1是其中的一个, 则 Arg z=q1+2kp(k为任意整数) (1.2.3) 给出了z的全部幅角, 在z(0)的幅角中, 将满足 -pq0p的q0称为Arg z的主值, 记作 q0=arg z,15,当z=0时, |z|=0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:,16,由复数运算法则, 两个复数z1和z2
8、的加减法和相应的向量的加减法一致.,z1,z2,z1+z2,成立不等式 |z1+z2|z1|+|z2| (三角不等式), (1.2.5),17,减法:,z1,z2,z1-z2,-z2,|z1-z2|z1|-|z2| (1.2.6),18,一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的, 因而|z|=| z |, 如果z不在负实轴和原点上, 还有arg z = -arg z,19,利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosq, y = r sinq, 可以将z表示成三角表示式: z = r(cosq +i sinq), (1.2.7) 利用欧拉公式eiq=cosq +i sinq得指
9、数表示式: z=r eiq (1.2.8),20,2. 复球面,N,S,O,x,y,P,z,21,除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数. 取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为南极. 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的球面称作复球面.,22,关于的四则运算作如下规定: 加法: a+=+a= (a) 减法: a-=-a= (a) 乘法: a=a= (
10、a0),23,3 复数的乘幂与方根,24,乘积与商 设有两个复数 z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2) = r1r2(cosq1cosq2-sinq1sinq2) +i(sinq1cosq2+cosq1sinq2) = r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2) 于是 |z1z2|=|z1|z2| (1.3.1) Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2) 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.,2
11、5,z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Arg z2,q2,z2,q1,z1,z1z2,1,O,x,y,26,如果用指数形式表示复数:,由此逐步可证, 如果,27,按照商的定义, 当z10时, 有,定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.,28,如果用指数形式表示复数:,定理二可简明地表示为,29,2. 幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂, 记作zn,则根据(1.3.4), 对任意正整数n, 我们有 zn=rn(cos nq+isin nq). (1.3.7),如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式). (c
12、os q+isin q)n = cos nq+isin nq. (1.3.8),30,设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根,如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如,在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点,设,则,即,当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：,例：,即,34,4 区域,35,1. 区域的概念,平面上以z0为中心, d(任意的正数)为半径的圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式0|z-z0|d所确定的点集为z0的去心邻域.,d,z0,36,包括
13、无穷远点自身在内且满足|z|M的所有点的集合, 其中实数M0, 称为无穷远点的邻域. 即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作M|z|.,M,0,|z|M,37,设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为 开集,38,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.,区域,z2,z1,不连通,39,设
14、D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,C3,C2,z,g1,g2,C1,40,区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|M, 则称D为有界的, 否则称为 无界的.,x,y,D,O,41,满足不等式r1|z-z0|r2的所有点构成一个区域, 而且是有界的, 区域的边界由两个圆周 |z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成, 称为圆环域
15、. 如果在圆环域内去掉一个(或几个)点, 它仍然构成区域, 只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成,r2,r1,42,无界区域的例子,上半平面:Im z0,角形域:0arg zj,j,a,b,带形域:aIm zb,43,2. 单连通域与多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.,44,如果在区间
16、atb上x (t)和y (t)都是连续的, 且对于t的每一个值, 有 x (t)2+y (t)20 这曲线称为光滑的, 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线, 称为按段光滑曲线.,连续,不连续,光滑,不光滑,45,设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足at1b, at2b的t1与t2, 当t1t2而有z(t1)=z(t2)时, 点z(t1)称为曲线C的重点. 没有重点的连续曲线C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线C的起点与终点闭合, 即z(a)=z(b), 则曲线C称为简单闭曲线.,z(a)=z(b),简单,闭,z(a),z(
