《同济大学微积分第三版课件第一章第五节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分第三版课件第一章第五节（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 极限存在准则和两个重要极限,本节建立极限存在的两个基本准则, 及由准则导出两,本节要点,一、夹逼准则,个重要极限.,二、单调有界准则,一、夹逼准则,则,准则1 如果,当 （或 ）时, 有,该准则的数列形式为,准则 如果数列,则数列 的极限存在, 且,满足下列条件:,证 仅对 时函数的极限证明夹逼准则.,因 故,时, 有 即,又因 对此,时, 有 即 取,当 时有,注: 在数列情况下, 要求从第一项开始不等式成立.,而实际情况是: 数列的极限存在与否与前 项的取值无,即 故,关, 故条件可放宽为自某一项以后, 不等式成立即可.,重要极限1:,如图所示, 在单位圆中, 记圆心角,证 首先注
2、意到函数 , 对一切 都有定义, 并,点 处的切线与 的延长线交于,且函数为偶函数, 故仅需证明对 时极限成立即可.,则,即,从而,变形为,因 的面积扇形 的面积 的面积,不等式两边都除以 , 得,因 由准则1, 得,注:,因当 时, 有不等式,即:,即,当 时, 由准则1, 得,例1 求,解,例2 求,解,注 本例说明极限,这是一个重要的极限.,例3 求,解 令,则由复合函数的极限运算法则, 得,则 , 当 时,例4 证明,所以,即,证 当 时,令,于是,两边取极限, 由夹逼定理得:,即有,因对任意的 , 总有 由此得,由此极限, 得到,二、单调有界收敛准则,准则2 单调有界数列必有极限.,
3、更具体地说:,若数列 单调递增且有上界 , 则 存在并且,若数列 单调递减且有下界 则 存在并且,不大于 ;,不小于,应用此准则, 我们来讨论另一个重要极限,设 , 今证数列 单调增加且有界.,类似地有,比较 的展开式, 可以看到除前两项外, 的每,一项都小于 的对应项, 且 还多了最后的一项,其值大于零, 所以,由此说明数列 是单调递增的. 又因,此说明数列 是有界的, 由极限存在准则2, 知数列,的极限存在,下面证明, 当 时, 函数,限均存在, 且都等于 , 即有,的极,以数 表示, 即,因为,事实上, 若 记 则,由夹逼准则, 得,由此得到:,若 令 则,例5 求,解,进一步有,例6 求,解,进一步有,例7 求,解,注 此极限的一般形式是,例8 设,求,解,即,例9 求,解 因,而,一般, 若,则,
