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1、,2 一元函数积分学,5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线 7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线 13 阿基米德螺线 14 双曲螺线,主 目 录（125 ）,15,16,2,3,1 曲边梯形的面积,4 曲边扇形的面积,19 平行截面面积为已知的立体的体积。 20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得 一圆柱楔。求其体积。 21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正 劈锥体的体积。 22 旋转体体积(y =f(x)绕x轴) 23 旋转体体积(x =g(y)绕y轴） 24 旋转体体积（柱壳法）
2、25 旋转体的侧面积,18,17,求由双纽线,内部的面积。,.,元素法,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,y=f (x),.,.,分法越细，越接近精确值,1. 曲边梯形的面积,f (i),.,元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,1. 曲边梯形的面积,.,f (i),元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,1. 曲边梯形的面积,.,f (i),S =,.,S
3、,.,2,。,。,2.,4,4,4,解方程组：,得交点：(8, 4)， (2,2),问题：选谁为积分变量？,。,。,3.,3,3,得两切线的斜率为,故两切线为,其交点的横坐标为,。,。,S =,l1,l2,( ),d,o, +d,r =( ),元素法,1 取极角为积分变量， 其变化区间为,以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：,.,.,4. 曲边扇形的面积,dS,S,3 作定积分,.,r,a,圆上任一点所画出的曲线。,5. 旋轮线,一圆沿直线无滑动地滚动，,来看动点的慢动作,圆上任一点所画出的曲线。,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,5. 旋轮线,2a,2a,a,x = a (t si
4、nt) y = a (1 cost),t 的几何意义如图示,t,a,当 t 从 0 2，x从 0 2a,即曲线走了一拱,a,圆上任一点所画出的曲线。,5. 旋轮线,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,6. 旋轮线也叫摆线,单摆,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,.,单摆,6. 旋轮线也叫摆线,单摆,.,6. 旋轮线也叫摆线,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全
5、无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。,单摆,.,6. 旋轮线也叫摆线,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a (1 cost),7. 旋轮线是最速降线,生活中见过这条曲线吗？,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间
6、最短？,y=a (1 cost),.,生活中见过这条曲线吗？,7. 旋轮线是最速降线,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a (1 cost),生活中见过这条曲线吗？,7. 旋轮线是最速降线,.,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a (1 cost),生活中见过这条曲线吗？,滑板的轨道就是这条曲线,7. 旋轮线是
7、最速降线,.,a,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,8. 心形线,(圆外旋轮线),a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,8. 心形线,(圆外旋轮线),a,a,a,2a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),8. 心形线,2a,r = a (1+cos ),0 2,0 r 2a,P,r,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),8. 心形线,a, a,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点
8、 所画出的曲线。,9. 星形线,(圆内旋轮线),a, a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,9. 星形线,(圆内旋轮线),a, a,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,来看动点的慢动作,.,9. 星形线,(圆内旋轮线),a, a,0 2,或,.,P,.,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,9. 星形线,(圆内旋轮线),一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,a,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,.,a,10. 圆的渐伸线,再看一遍,
9、.,a,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,.,a,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,a,0,x,M,t,t,a,at,(x,y),试由这些关系推出曲线的方程,.,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,1. 曲线关于 y= x 对称,2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0,分析,3. 令 y = t x, 得参数式,故在原点，曲线自身相交.,11.狄卡儿叶形线,4.,x+y+a = 0,曲线关于 y= x 对称,曲线有渐近线 x+y+a=0,.,11.狄卡儿叶形线,P,r,.,.,.,.,.,
10、.,.,.,.,.,.,曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =,.,.,.,.,.,距离之积为a2的点的轨迹,直角系方程,12. 双纽线,.,所围面积,.,.,.,由对称性,.,12. 例,求双纽线,0,r,r =a,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,13. 阿基米德螺线,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,.,13. 阿基米德螺线,r =a,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,再看一
11、遍,请问：动点的轨迹什么样？,.,13. 阿基米德螺线,r =a,0,r,.,13. 阿基米德螺线,r =a,0,r,r =a,.,13. 阿基米德螺线,0,r,r =a,.,13. 阿基米德螺线,r,这里 从 0 +,8,r =a,0,2a,每两个螺形卷间沿射线的距离是定数,.,13. 阿基米德螺线,0,r,8,当 从 0 ,r =a,.,13. 阿基米德螺线,r,0,.,这里 从 0 +,8,.,.,14. 双曲螺线,r,0,.,当 从 0 ,8,.,14. 双曲螺线,15.,2,.,.,S =, =1+cos,3,r =3cos,由 3cos =1+cos,得交点的坐标,S,2,.,.,
12、.,.,.,.,.,16.,1,令 cos2 = 0,由 sin 0,联立后得交点坐标,.,.,.,S = 2,.,17.,1,s1,s2,.,.,.,.,.,.,s,S =, =1+cos,求由双纽线,.,.,.,.,由对称性,.,18.,a,内部的面积。,双纽线化成极坐标,令 r = 0,S =,4,+,.,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x)的立体,.,a,V,以下是几个例子,19. 平行截面面积为已知的立体的体积,b,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,R,o,x,y,20.,o,y,R,x,R,R,20.,.,
13、半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,y tan,问题： 还有别的方法吗？,(x, y),截面积,A(x),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,20.,.,o,y,R,x,R,R,方法2,.,20.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S(y),(x, y),= 2x,= ytan,.,S(y),.,20.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,R,x,o,y,R,21.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。,R,x,o,x,A(x),A(x),V =,.,.,.,.,R,y,21.,.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。,y,f(x),a,
