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1、1,第六章 微分方程与差分方程初步,本章主题词：微分方程、方程的阶、方程的通解、初值条件、方程的特解、线性方程、非线性方程；可分离变量方程、齐次方程、贝努里方程、一阶线性方程；可降阶方程、二阶常系数线性微分方程、特征方程、特征根。,我们的活动与艺术家的活动有许多共同之处。画家进行色彩与形态的组合，音乐家把乐音组合起来，诗人组词，而我们则是把一定的概念组合起来。 A.波莱尔（瑞士数学家）,2,第六章 微分方程与差分方程初步 6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例 6.6 简单差分方程及其应用 6.7 微
2、分方程数值解 选读：文物年代的鉴定 数学家：伯努里 欧 拉 刘维尔,3,解,6.1 微分方程的基本概念,4,解,5,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,6,微分方程的概念,微分方程:凡含有未知函数y=y(x)的导数或微分的方程叫常微分方程,记作,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,7,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶.,分类1: 常微分方程, 偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,8,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4: 单个微分方程与微分方程组.,9,方程的解,微分方程
3、的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为微分方程的解.,微分方程的解的分类：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,10,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,11,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线 的斜率为定值的积分曲线.,12,解,13,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),14,注意：,15,某些疾病的传染规律也可以用此方程模型来描述,建立微分方程之进一步的例子,16,许多生物种群、细菌数量的变化，银行存款的本利和，放射性物质的质量衰减等问题可用此方程模型来描述,17,18,一些化学反应中溶液的混合问题也可以用类似方法来处理,19,小 结,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,本节基本概念：,作业：P.350(A):1,2,(B):1,数学建模,20,思考题,21,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,
