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1、 第六章第六章 证券组合的效用最大化证券组合的效用最大化 1本章主要内容本章主要内容6.1 无差异曲线（IDC） 6.2 效用最大化的风险投资组合 6.3 无风险借贷下证券组合的效用最大化 6.4 不同借贷利率下证券组合的效用最大化 2Markowitz证券组合优化模型有证券组合优化模型有两个隐含假设：两个隐含假设：风险厌恶和不满足风险厌恶和不满足.不满足是指投资者在标准差都相同的两个证券组合中进行选择时，不满足是指投资者在标准差都相同的两个证券组合中进行选择时，总是选择预期收益率较高的那个证券组合。总是选择预期收益率较高的那个证券组合。风险厌恶是指投资者在预期收益率都相同的两个证券组合中进行
2、选风险厌恶是指投资者在预期收益率都相同的两个证券组合中进行选择时，总是选择标准差较小的那个证券组合。择时，总是选择标准差较小的那个证券组合。这两个假设导致的结果就是投资者只能在证券组合的有效前沿进行这两个假设导致的结果就是投资者只能在证券组合的有效前沿进行选择。选择。证券组合的有效前沿在标准差证券组合的有效前沿在标准差预期收益率平面中是一条连续曲线预期收益率平面中是一条连续曲线,它要么是一条双曲线的右半支（只由风险证券构成的证券组合），它要么是一条双曲线的右半支（只由风险证券构成的证券组合），要么是一条直线（允许无风险借贷，且借贷利率相同），要么是两要么是一条直线（允许无风险借贷，且借贷利率相
3、同），要么是两条直线和一条双曲线合成的一条连续曲线（允许无风险借贷，但借条直线和一条双曲线合成的一条连续曲线（允许无风险借贷，但借贷利率不同）。贷利率不同）。那么投资者应该从这条连续曲线中选择哪个证券组合呢？那么投资者应该从这条连续曲线中选择哪个证券组合呢？答案是要依据投资者对收益与风险的偏好程度来确定。答案是要依据投资者对收益与风险的偏好程度来确定。在更概念化的基础上，选择最优的证券组合是一种使投资者期望效在更概念化的基础上，选择最优的证券组合是一种使投资者期望效用最大化的活动。用最大化的活动。36.1 无差异曲线（无差异曲线（IDC）每个投资者在进行投资过程中，都有自己对收益与风险的偏好每
4、个投资者在进行投资过程中，都有自己对收益与风险的偏好程度，即投资活动要遵循一个关于收益与风险的效用函数。程度，即投资活动要遵循一个关于收益与风险的效用函数。效用函数可以看成是效用函数可以看成是“风格投资风格投资”的具体化，这是因为每个投的具体化，这是因为每个投资者都有他的投资风格，有些人比较保守，而有些人却愿意冒资者都有他的投资风格，有些人比较保守，而有些人却愿意冒很大的风险以获取更多的收益，这些投资者个人所具有的秉性很大的风险以获取更多的收益，这些投资者个人所具有的秉性在投资中就反映在他们对收益与风险的偏好程度上。在投资中就反映在他们对收益与风险的偏好程度上。效用函数理论的研究可以上溯到十八
5、世纪效用函数理论的研究可以上溯到十八世纪Daniel Bernoulli的工的工作，但它的大发展时期是在二十世纪，作，但它的大发展时期是在二十世纪，John von Neumann、Kenneth J. Arrow、Paul J. H. Schoemaker等人在这方面等人在这方面都做了大量工作。都做了大量工作。按照古典经济学的分析，这个效用函数在标准差按照古典经济学的分析，这个效用函数在标准差预期收益率预期收益率平面中称为无差异曲线（平面中称为无差异曲线（IDC），它是用均值），它是用均值方差来表现风方差来表现风险险预期收益率相互替换的大小和形式的。预期收益率相互替换的大小和形式的。 4期末
6、财富水平期末财富水平低于该期末财富水平的百分比机会低于该期末财富水平的百分比机会A（%）B（%）70000元元0280000元元0590000元元414100000元元2127110000元元5746120000元元8866130000元元9980表表61 两个假想组合的期末财富水平的比较两个假想组合的期末财富水平的比较例例1：考虑两个可供选择的证券组合：考虑两个可供选择的证券组合A和和B，A的年预期收益率的年预期收益率为为8，B的预期年收益率为的预期年收益率为12，A和和B的年收益率的标准差的年收益率的标准差分别为分别为10和和20。假设投资者有初始财富。假设投资者有初始财富100000元，
7、持有元，持有期为一年，这两个组合在期末的财富情况如表期为一年，这两个组合在期末的财富情况如表61所示。所示。5如果分别投资于证券组合如果分别投资于证券组合A和和B，相应的期末财富分别是，相应的期末财富分别是108000元元和和112000元，这似乎表明证券组合元，这似乎表明证券组合B更有吸引力。更有吸引力。另一方面，从表另一方面，从表6-1可以看出，如果购买证券组合可以看出，如果购买证券组合B，那么投资者将，那么投资者将有有2%的机会只能获得的机会只能获得70000元或更少的期末财富；而购买证券组合元或更少的期末财富；而购买证券组合A，投资者获得的期末财富一定超过，投资者获得的期末财富一定超过
8、70000元。元。同样购买证券组合同样购买证券组合B，投资者将有，投资者将有5%的机会只能获得的机会只能获得80000元或更元或更少的期末财富；而购买证券组合少的期末财富；而购买证券组合A，投资者不会这样。，投资者不会这样。继续下去，证券组合继续下去，证券组合B的期末财富有的期末财富有14%的机会是的机会是90000元或更少；元或更少；而证券组合而证券组合A的机会则是的机会则是4%。接下来，证券组合。接下来，证券组合B的期末财富有的期末财富有27%的机会是的机会是100000元或更少；而证券组合元或更少；而证券组合A的机会则只有的机会则只有21%。也就是说，证券组合也就是说，证券组合B有较大的
9、概率（有较大的概率（27%）获得负收益，而证券）获得负收益，而证券组合组合A获得负收益的概率仅为获得负收益的概率仅为21%。从表从表61可以看出，证券组合可以看出，证券组合A的风险在总体上要比证券组合的风险在总体上要比证券组合B小。小。从这方面似乎表明证券组合从这方面似乎表明证券组合A反而比反而比B更有吸引力了。更有吸引力了。那么投资者该选择证券组合那么投资者该选择证券组合A还是还是B呢？呢？这就要看这个投资者对风险和收益的偏好程度，也就是要看他的无这就要看这个投资者对风险和收益的偏好程度，也就是要看他的无差异曲线是怎样的了。差异曲线是怎样的了。 6无差异曲线在标准差无差异曲线在标准差预期收益
10、率平面表示一个投资者对预期收益率平面表示一个投资者对风险和收益的偏好程度风险和收益的偏好程度，如图，如图61所示。所示。每条曲线都表示该投资者的一条无差异曲线，代表提供同每条曲线都表示该投资者的一条无差异曲线，代表提供同一给定满意水平的证券组合的全体。一给定满意水平的证券组合的全体。图图61 无差异曲线无差异曲线7拥拥有有图图61的的无无差差异异曲曲线线的的投投资资者者，将将发发现现证证券券组组合合A和和B虽虽然然有有不不同同的的预预期期收收益益率率和和标标准准差差，但但具具有有相相同同的满意程度（它们在同一条无差异曲线的满意程度（它们在同一条无差异曲线I2上）。上）。证证券券组组合合B的的标
11、标准准差差（23%）要要比比证证券券组组合合A的的标标准准差差（10%）高高，从从这这个个指指标标看看，证证券券组组合合B的的满满意意程程度度要要低于证券组合低于证券组合A。然然而而证证券券组组合合B在在这这方方面面满满意意程程度度的的损损失失恰恰好好被被它它相相对对于于证证券券组组合合A的的预预期期收收益益率率（8%）有有更更高高的的预预期期收收益益率（率（15%）所提供的满意程度弥补了。）所提供的满意程度弥补了。这这个个例例子子导导出出了了无无差差异异曲曲线线的的第第一一个个重重要要特特征征：一一条条给给定定的的无无差差异异曲曲线线上上的的所所有有组组合合对对投投资资者者来来说说，其其提提
12、供的满意程度是相同的。供的满意程度是相同的。无差异曲线的特征无差异曲线的特征8虽虽然然图图61所所示示的的投投资资者者发发现现证证券券组组合合A与与B所所提提供供的的满满意意程程度度是是一一样样的的，但但他他将将发发现现预预期期收收益益率率为为13%、标标准准差差为为14%的的证证券券组组合合C比比这这两两个个证证券券组组合合都都要要好好。这这是是因因为为证证券券组组合合C相相对对于于A有有一一个个足足够够大大的的预预期期收收益益率率，超超过过了了对对其其高高标标准准差差的的弥弥补补，这这个个差差额额使使得得它它比比证证券券组组合合A更更满满意意。另另一一方方面面，证证券券组组合合C相相对对于
13、于B有有一一个个足足够够小小的的标标准准差差，超超过过了了低低预预期期收收益益率率的的弥弥补补，这个差额使得证券组合这个差额使得证券组合C比证券组合比证券组合B更满意。更满意。由由于于证证券券组组合合C在在无无差差异异曲曲线线I3上上，而而I3在在I2的的“西西北北”向向，这这就就导导出出了了无无差差异异曲曲线线的的第第二二个个重重要要特特征征：投投资资者者将将发发现现位位于于“更更西西北北”的的无无差差异异曲曲线线上上的的证证券券组组合要比合要比“更东南更东南”的无差异曲线上的证券组合更满意的无差异曲线上的证券组合更满意。9综上所述，每个投资者都拥有一族无差异曲线来表示综上所述，每个投资者都
14、拥有一族无差异曲线来表示他对于预期收益率和标准差的偏好。他对于预期收益率和标准差的偏好。这意味着投资者将按图这意味着投资者将按图61那样对每一可能的证券组那样对每一可能的证券组合确定出预期收益率和标准差，并选择位于最西北的合确定出预期收益率和标准差，并选择位于最西北的那条无差异曲线上的证券组合。那条无差异曲线上的证券组合。在图在图61四个可能的证券组合四个可能的证券组合A、B、C、D中，投资中，投资者将选择证券组合者将选择证券组合C。除了上面所指出的两个重要特征，无差异曲线还有两除了上面所指出的两个重要特征，无差异曲线还有两个性质：个性质：1）同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差）同一
15、投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交；异曲线都不能相交；2）任何两条无差异曲线之间都存在第三条无差异曲线）任何两条无差异曲线之间都存在第三条无差异曲线这两个性质可以从图这两个性质可以从图62和图和图63中得到证明。中得到证明。10 图图62 无差异曲线相交无差异曲线相交投资者的一条无差异曲线上的各点进行风险投资者的一条无差异曲线上的各点进行风险预期收益率相预期收益率相互替换对该投资者来说是无差异的。互替换对该投资者来说是无差异的。图图63 两条无差异曲线存两条无差异曲线存在第三条无差异曲线在第三条无差异曲线11图图64 有效前沿上的最优证券组合选择有效前沿上的最优证券组合选
16、择如果无差异曲线如果无差异曲线是已知的，则最是已知的，则最优的证券组合就优的证券组合就可由无差异曲线可由无差异曲线族与证券组合的族与证券组合的有效前沿的切点有效前沿的切点来确定，该切点来确定，该切点是一切被选证券是一切被选证券组合中效用最大组合中效用最大的证券组合，见的证券组合，见图图64。 12那么投资者的无差异曲线该怎样表示？尽管效用理论那么投资者的无差异曲线该怎样表示？尽管效用理论的概念十分清晰，可是在实际应用中却极为困难。因的概念十分清晰，可是在实际应用中却极为困难。因为建立一个投资者的无差异曲线的完全模型简直是不为建立一个投资者的无差异曲线的完全模型简直是不可能的，即使是只建立风险与
17、收益率间相互替换的近可能的，即使是只建立风险与收益率间相互替换的近似关系也极为困难。似关系也极为困难。但我们可以给出一种近似方法，即但我们可以给出一种近似方法，即确定性等价收益确定性等价收益方方法。该方法对此问题的解决提供了一些思路。法。该方法对此问题的解决提供了一些思路。首先，我们假定回避风险的投资者要通过一个确定的首先，我们假定回避风险的投资者要通过一个确定的百分率来百分率来“惩罚惩罚”一个具有风险的证券组合的预期收一个具有风险的证券组合的预期收益率，其幅度与涉及的风险成正比。投资者察觉到的益率，其幅度与涉及的风险成正比。投资者察觉到的风险越大，则惩罚就越大。风险越大，则惩罚就越大。我们可
18、以把风险惩罚系统的概念公式化。假定每一投我们可以把风险惩罚系统的概念公式化。假定每一投资者都能基于预期收益率和风险为各被选证券组合给资者都能基于预期收益率和风险为各被选证券组合给出一个效用次序，具有较高预期收益率和较低风险的出一个效用次序，具有较高预期收益率和较低风险的证券组合会有较高的效用。证券组合会有较高的效用。13效用函数效用函数用于计算证券组合效用的函数可以定义为其自变量为预期用于计算证券组合效用的函数可以定义为其自变量为预期收益率和方差的一个函数。收益率和方差的一个函数。（6.1）其中其中 u为效用值，而为效用值，而A是一个反映投资者回避风险程度的是一个反映投资者回避风险程度的指数。
19、指数。正如公式（正如公式（6-1）所表示，效用会随预期收益率的增加而）所表示，效用会随预期收益率的增加而增加，随风险减少而减少。这与传统概念是一致的。增加，随风险减少而减少。这与传统概念是一致的。方差减小效用的大小依赖于指数方差减小效用的大小依赖于指数A，即投资者回避风险的，即投资者回避风险的程度。程度。注意，若对于非回避风险并且对风险无差异的投资者，系注意，若对于非回避风险并且对风险无差异的投资者，系数数A将是零，这时效用函数变为预期收益率的一元函数。将是零，这时效用函数变为预期收益率的一元函数。对于投资者是回避风险这种更实际的情况，对于投资者是回避风险这种更实际的情况，A的数值以及的数值以
20、及惩罚的程度，随着投资者避免风险程度的加大而增加。惩罚的程度，随着投资者避免风险程度的加大而增加。14作为一个比较的指标，由一个无风险的证券组合所给出作为一个比较的指标，由一个无风险的证券组合所给出的效用就是预期收益率本身，因为这时不存在惩罚（方的效用就是预期收益率本身，因为这时不存在惩罚（方差为零）。差为零）。由于在选择有风险的或无风险的证券组合时，我们可以由于在选择有风险的或无风险的证券组合时，我们可以把其效用值看成无风险投资的收益率，从而可以把证券把其效用值看成无风险投资的收益率，从而可以把证券组合的价值解释为它对投资者的组合的价值解释为它对投资者的确定性等价收益率确定性等价收益率。换句
21、话说，证券组合的确定性等价收益率是使投资者感换句话说，证券组合的确定性等价收益率是使投资者感到同等满足的无风险证券的收益率。到同等满足的无风险证券的收益率。从公式（从公式（6-1）我们还可以看出，投资者对风险的厌恶）我们还可以看出，投资者对风险的厌恶程度可以体现在他的回避风险的参数程度可以体现在他的回避风险的参数A上。上。回避风险的参数回避风险的参数A不同，无差异曲线族的斜率也不一样，不同，无差异曲线族的斜率也不一样，投资者的无差异曲线族与证券组合的有效前沿的切点也投资者的无差异曲线族与证券组合的有效前沿的切点也不一样，所以投资者的最优证券组合也是不同的，不一样，所以投资者的最优证券组合也是不
22、同的，因此，因此，无差异曲线可以看成是无差异曲线可以看成是“风格投资风格投资”的具体化。的具体化。156.2效用最大化的风险证券组合效用最大化的风险证券组合图图61是某个投资者的无差异曲线族，在曲线上的各点进是某个投资者的无差异曲线族，在曲线上的各点进行风险行风险收益率相互替换对该投资者来说是无差异的。收益率相互替换对该投资者来说是无差异的。一旦这些曲线是已知的，最优的风险证券组合就可由无差一旦这些曲线是已知的，最优的风险证券组合就可由无差异曲线族与风险证券组合的有效前沿的切点异曲线族与风险证券组合的有效前沿的切点T来确定，切点来确定，切点T是一切被选证券组合中效用最大的证券组合，见图是一切被
23、选证券组合中效用最大的证券组合，见图64。在图在图64中，双曲线中，双曲线 称为称为Markowitz模型模型（6.2）的有效前沿。的有效前沿。16由第四章可知，由第四章可知， Markowitz模型（模型（6.2）的有效前沿可）的有效前沿可由下列由下列n-2个方程构成的线性方程组表示：个方程构成的线性方程组表示：（6.3）其中其中17在模型（在模型（6-2）中，）中，R=R1, R2, , RnT，Ri=E(ri)是第是第i 种证种证券的预期收益率，券的预期收益率，X=x1, x2,xnT是证券组合的权是证券组合的权重向量，重向量， = ijn n是种证券间的协方差矩阵，是种证券间的协方差矩
24、阵，Rp=E(rp)和和 2p=Var(rp)分别是证券组合的预期收益率和方差。分别是证券组合的预期收益率和方差。 p称为证券组合的标准差，表示证券组合的收益率称为证券组合的标准差，表示证券组合的收益率rp偏离偏离E(rp)的幅度，被的幅度，被Markowitz用于度量证券组合的风险。用于度量证券组合的风险。对一个投资者来说，他对风险回避的程度是可以确定的，对一个投资者来说，他对风险回避的程度是可以确定的，即公式（即公式（6-1）中的系数）中的系数A是已知的。我们把无差异曲线是已知的。我们把无差异曲线（6-1）式变形为：）式变形为：将模型将模型(6.2)中的中的Rp = XTR和和p2 = X
25、TX代入代入(6.4)中，就得到：中，就得到： （6.5）（6.4） 18因为线性方程组（因为线性方程组（6.3）的秩是）的秩是n-2，所以它的基础解系的个数，所以它的基础解系的个数是是1，即，即x2、x3、xn-1都可由都可由x1表示（利用消元法可得）。表示（利用消元法可得）。由于由于 xi=1，因此，因此xn也可由也可由x1表示。表示。将将x1、x2、xn代入（代入（6.4）式，就得到关于）式，就得到关于x1的一元二次方的一元二次方程，因为点程，因为点T是切点，所以是切点，所以x1只有一个根。只有一个根。由求根公式，就可求出由求根公式，就可求出u和和x1，然后自然得到，然后自然得到x2、x
26、3、xn的的值，这就得到效用最大化的最优风险证券组合（即切点值，这就得到效用最大化的最优风险证券组合（即切点T）的）的权重了，同时也由权重了，同时也由u的值得到投资者的无差异曲线方程。再由的值得到投资者的无差异曲线方程。再由下面两式：下面两式： Rp = XTR （6-6） p2 = XTX （6-7）我们就可以分别得到效用最大化的最优风险证券组合的预期收我们就可以分别得到效用最大化的最优风险证券组合的预期收益率和方差益率和方差RT、T2。 19例例1：为了说明效用最大化的证券组合在资产配置中的应用，：为了说明效用最大化的证券组合在资产配置中的应用，我们将考虑美国市场上三种主要的证券类型：普通
27、股、长期我们将考虑美国市场上三种主要的证券类型：普通股、长期债券和国库券。表债券和国库券。表62表示上述三类资产的预期收益率和表示上述三类资产的预期收益率和标准差以及这些证券类型之间的相关性。标准差以及这些证券类型之间的相关性。由表由表62，我们知道：，我们知道：证券类型证券类型预期收益率预期收益率（%）标准差标准差（%）相关性相关性普通股普通股12.320.510.114-0.5长期债券长期债券5.48.70.11410.24国库券国库券3.73.3-0.50.24120因此，因此，所以，方程组（所以，方程组（6.3）变为方程）变为方程因而因而假设假设 ，则方程（，则方程（6.5）变为：）变
28、为：21将将R、和和代入上式，就得到关于代入上式，就得到关于x1的一元二次方程的一元二次方程由求根公式，要使由求根公式，要使x1只有一个根，就必须满足：只有一个根，就必须满足： =b2-4ac=0即即解之，得：解之，得：u=2.5128，同时，可得，同时，可得22将将x1代入到代入到x2和和x3中，得中，得因此，我们就得到效用最大化的最优证券组合（即切点因此，我们就得到效用最大化的最优证券组合（即切点T）的权重的权重由公式（由公式（6.6）和（）和（6.7），就分别得到效用最大化的最优证），就分别得到效用最大化的最优证券组合券组合T的预期收益率和方差的预期收益率和方差因而，效用最大化的最优证券
29、组合因而，效用最大化的最优证券组合T的标准差为：的标准差为：此时，投资者的无差异曲线（此时，投资者的无差异曲线（6.1）就是）就是236.3 无风险借贷下证券组合的效用最大化无风险借贷下证券组合的效用最大化图图65 无风险借贷下证券组合的有效前沿无风险借贷下证券组合的有效前沿 无无风风险险资资产产的的借借入入和和贷贷出出把把原原来来的的Markowitz模模型型的的有有效效前前沿沿变变成成了了直直线线，如图如图65所示。所示。这这条条直直线线从从纵纵轴轴上上无无风风险险利利率率点点C处处向向上上延延伸伸，与与原原有有效效前前沿沿曲曲线线相相切切于于点点M，它它包包含含了了所所有有风风险险证证券
30、券构构成成的的证证券券组组合合M与与无无风风险险证证券券借借贷贷的的组组合合，直直线线就就是是无无风风险险借借贷贷下下证证券券组合的有效前沿。组合的有效前沿。24 一旦无差异曲线（一旦无差异曲线（IDC）是已知的，则无风险借贷下最优的证）是已知的，则无风险借贷下最优的证券组合就可由无差异曲线族与含无风险证券时证券组合有效前券组合就可由无差异曲线族与含无风险证券时证券组合有效前沿的切点来确定，该切点沿的切点来确定，该切点T是一切被选证券组合中效用最大的是一切被选证券组合中效用最大的证券组合，见图证券组合，见图66。由第五章，我们知道风险证券组合由第五章，我们知道风险证券组合M处的权重向量处的权重
31、向量及直线的斜率及直线的斜率k都由下列方程组确定：都由下列方程组确定： （6.8）25其中其中 rf是无风险利率，是无风险利率，R=R1, R2,RnT，Ri=E(ri)是第是第i种种风险证券的预期收益率，风险证券的预期收益率， = ijn n是种风险证券间的协方差是种风险证券间的协方差矩阵。矩阵。进一步，我们可得到切点进一步，我们可得到切点M处的预期收益率和方差：处的预期收益率和方差：（6.9）（6.10）26（6.11）将方程（将方程（6.11）带入（）带入（6.4），我们得到：），我们得到： （6.12） 这是一个一元二次方程。这是一个一元二次方程。因为因为T是方程（是方程（6.4）和（
32、）和（6.11）的切点，所以方程（）的切点，所以方程（6.12）在）在T处只有一个根，由求根公式，我们可得：处只有一个根，由求根公式，我们可得： 和切点和切点T处的标准差处的标准差 （6.13）故投资者的最大效用值为：故投资者的最大效用值为：（6.14）同时，由同时，由k的的值我们也可得到无风险借贷下证券组合的有效前沿值我们也可得到无风险借贷下证券组合的有效前沿 ：27由由u的值我们就可得到投资者的效用最大的无差异曲线方程，的值我们就可得到投资者的效用最大的无差异曲线方程，同时由点同时由点T处的标准差我们也可分别得到无风险借贷下使投资处的标准差我们也可分别得到无风险借贷下使投资者效用达到最大的
33、证券组合者效用达到最大的证券组合T的预期收益率和方差的预期收益率和方差RT、 2T：令令W代表投资于无风险证券的比例，则代表投资于无风险证券的比例，则1-W为投资于风险证券为投资于风险证券M的比例，则无风险借贷下使投资者效用达到最大的证券组合的比例，则无风险借贷下使投资者效用达到最大的证券组合T的预期收益率和方差可分别表示为：的预期收益率和方差可分别表示为：因此，因此， （6.17）即投资者效用最大的证券组合即投资者效用最大的证券组合T中有中有W 100%的无风险资产。的无风险资产。 （6-15） （6-16） 28假定投资者可以以同样的无风险利率借入和贷出，不仅使人们假定投资者可以以同样的无
34、风险利率借入和贷出，不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。然而，这也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。然而，这个假设在现实的市场运作中是无效的。金融中介机构在贷出资个假设在现实的市场运作中是无效的。金融中介机构在贷出资金时的利率会比借入时高，这样投资者的利差中包括了自身的金时的利率会比借入时高，这样投资者的利差中包括了自身的边际利润和对信用风险的补偿增益，因此借入资金需要支付比边际利润和对信用风险的补偿增益，因此借入资金需要支付比贷出或投资资金更高的利率。所以
35、探讨不同借贷利率下的证券贷出或投资资金更高的利率。所以探讨不同借贷利率下的证券组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。假设投资者的借入利率为假设投资者的借入利率为rf1，贷出利率为，贷出利率为rf2，则有：，则有：rf1 rf2。由第五章可知，不同借贷利率下证券组合的有效前沿是图由第五章可知，不同借贷利率下证券组合的有效前沿是图67中的折线，其中两条直线的方程分别是：中的折线，其中两条直线的方程分别是：（6.18）（6.19）6.4 不同借贷利率下证券组合的效用最大化不同借贷利率下证券组合的效用最大化29因此，要求出不同借贷利率下证券组合的有效前
36、沿，我们只需因此，要求出不同借贷利率下证券组合的有效前沿，我们只需求出两条直线（求出两条直线（L1和和L2）的斜率）的斜率k1和和k2以及两切点（以及两切点（M1和和M2）的预期收益率和方差即可。的预期收益率和方差即可。 由第五章，我们知道点由第五章，我们知道点M1处的权重向量处的权重向量 及直线及直线 的斜率的斜率k1都由下列方程组确定：都由下列方程组确定： 其中其中aij和和bi与与6.3节一样。知道了点节一样。知道了点M1处的权重向量处的权重向量X1，我们就，我们就可得到点可得到点M1处的预期收益率和方差处的预期收益率和方差RM1、 2M1。 （6-20） 30图图67 不同借贷利率下证
37、券组合的有效前沿不同借贷利率下证券组合的有效前沿 31同样地，点同样地，点M2处的权重向量处的权重向量 及直线的斜及直线的斜率率k2都由下列方程组确定：都由下列方程组确定： 其中其中aij和和bi与与6.3节一样。知道了点节一样。知道了点M2处的权重向量处的权重向量X2，我，我们就可得到点们就可得到点M2处的预期收益率和方差处的预期收益率和方差RM2、 2M2。 （6.21） 32在在得得到到两两条条直直线线（L1和和L2）的的斜斜率率k1和和k2后后，我我们们就就能能确确定定不不同同借借贷贷利利率率下下证证券券组组合合的的有有效效前前沿沿，它它就就是是图图67中中的的实实线线 ，这这是是由由
38、两两条条直直线线（L1和和L2）和和一一段段弧弧线线（ ）组组成成的的折折线线。这这时时，投投资资者者有有三三种种可可供供投投资资选选择择的的预预期期收益率：收益率：（1）当当投投资资者者的的预预期期收收益益率率低低于于 时时，他他就就贷贷出出无无风风险险资产和投资于风险资产；资产和投资于风险资产；（2）当投资者的预期收益率介于）当投资者的预期收益率介于 和和 之间时，他就之间时，他就仅投资于风险资产；仅投资于风险资产；（3）当投资者的预期收益率高于）当投资者的预期收益率高于 时，时，他就借入无风险资产并投资于风险资产。他就借入无风险资产并投资于风险资产。 33图图68 不同借贷利率下证券组合
39、的最优选择不同借贷利率下证券组合的最优选择一旦我们知道无差异曲线（一旦我们知道无差异曲线（IDC），则不同借贷利率下最优的），则不同借贷利率下最优的证券组合就可由无差异曲线族与不同借贷利率下证券组合有证券组合就可由无差异曲线族与不同借贷利率下证券组合有效前沿的切点来确定，该切点（效前沿的切点来确定，该切点（T1、T2、T3中的一个）是一中的一个）是一切被选投资组合中效用最大的证券组合，见图切被选投资组合中效用最大的证券组合，见图68。34类似于公式（类似于公式（6.15）和（）和（6.16），我们可分别得到借入无风险），我们可分别得到借入无风险资产时使投资者效用达到最大的证券组合资产时使投资者
40、效用达到最大的证券组合T1的预期收益率和的预期收益率和方差方差RT1、 2T1： 以及贷出无风险资产时使投资者效用达到最大的证券组合以及贷出无风险资产时使投资者效用达到最大的证券组合T2的预期收益率和方差的预期收益率和方差RT2、 2T2： 类似于类似于6.2节的方法，我们可分别得到效用最大化的风险证券节的方法，我们可分别得到效用最大化的风险证券组合的预期收益率和方差组合的预期收益率和方差RT3、 2T3。 （6-22） （6-23） （6-24） （6-25） 35 综上所述，求不同借贷利率下效用最大化的证券组合可以按综上所述，求不同借贷利率下效用最大化的证券组合可以按如下步骤进行：如下步骤
41、进行：1.求出不同借贷利率下证券组合的有效前沿（即要求出点求出不同借贷利率下证券组合的有效前沿（即要求出点M1、M2的预期收益率和方差及直线的预期收益率和方差及直线L1、L2的斜率的斜率k1、k2）2.根据投资者回避风险程度的指数根据投资者回避风险程度的指数A的值，求出有效前沿与无的值，求出有效前沿与无差异曲线的可能的三个切点差异曲线的可能的三个切点T1、T2、T3的预期收益率和方差的预期收益率和方差3.根据切点根据切点T1、T2、T3的预期收益率和方差，确定出哪一个点的预期收益率和方差，确定出哪一个点位于不同借贷利率下证券组合的有效前沿上，而这个位于有位于不同借贷利率下证券组合的有效前沿上，
42、而这个位于有效前沿上的切点就是不同借贷利率下效用最大化的证券组合效前沿上的切点就是不同借贷利率下效用最大化的证券组合 在在得得到到T1、T2、T3的的预预期期收收益益率率和和方方差差后后，我我们们就就能能确确定定这这三三个个切切点点中中哪哪一一个个点点位位于于不不同同借借贷贷利利率率下下证证券券组组合合的的有有效效前前沿沿上上，而而这这个个位位于于有有效效前前沿沿上上的的切切点点就就是是我我们们所所要要求求的的不不同同借贷利率下效用最大化的证券组合。借贷利率下效用最大化的证券组合。36由于无风险借贷下证券组合的效用最大化过程能在不同借贷利由于无风险借贷下证券组合的效用最大化过程能在不同借贷利率
43、下证券组合的效用最大化过程中得到体现，所以为了具体说率下证券组合的效用最大化过程中得到体现，所以为了具体说明证券组合的效用最大化过程，我们仅考虑明证券组合的效用最大化过程，我们仅考虑不同借贷利率下证不同借贷利率下证券组合的效用最大化过程券组合的效用最大化过程。为此我们将考虑美国市场上三种主要的资产类型：国际权益类、为此我们将考虑美国市场上三种主要的资产类型：国际权益类、美国国内股票类和长期债券。表美国国内股票类和长期债券。表63表示这三类资产的预期收表示这三类资产的预期收益率和它们的标准差以及这些资产类型之间的相关性。益率和它们的标准差以及这些资产类型之间的相关性。假设银行的存贷利率分别为假设
44、银行的存贷利率分别为2.0%和和3.7%，则投资者的借贷利，则投资者的借贷利率分别为率分别为3.7%和和2.0%。： ，表表63 三类风险资产的风险三类风险资产的风险预期收益率数据预期收益率数据资产类型资产类型预期收益率预期收益率( (%) )标准差标准差( (%) )相关性相关性国际股票国际股票15.530.310.560.22U.S.股票股票12.320.50.5610.14长期债券长期债券5.48.70.220.14137即即 所以，方程组（所以，方程组（6.3）变为方程：）变为方程：因而因而由于由于rf1=3.7%，因此方程组（，因此方程组（6.20）中的最后一个方程变为：）中的最后一
45、个方程变为：由表由表63，我们知道：，我们知道：38将将R、和和 代入上式，就得到关于代入上式，就得到关于x1的一元二次方程：的一元二次方程：由求根公式，要使由求根公式，要使x1只有一个根，就必须满足：只有一个根，就必须满足： =b2-4ac=0，即，即解之，得：解之，得： 同时，可得同时，可得将将x1代入到代入到x2和和x3中，得：中，得：39因此，我们就得到切点因此，我们就得到切点M1的投资权重为：的投资权重为： 所以，切点所以，切点M1的预期收益率的预期收益率RM1和方差和方差 2M1分别是：分别是：故切点故切点M1的标准差为：的标准差为： M1=8.66%。此时，直线。此时，直线L1的
46、方程为：的方程为：同理，由同理，由rf2=2.0%，可得：，可得：k2=0.5504，切点，切点M2的投资权重：的投资权重： 因此，切点因此，切点M2的预期收益率的预期收益率RM2和方差和方差 2M2分别是：分别是： 故切点故切点M2的标准差为：的标准差为： M2=8.548%。此时直线。此时直线L2的方程为：的方程为： 40假设假设A= 0.6 = 60%，则由公式（，则由公式（6.23），我们知道借入无风），我们知道借入无风险资产时使投资者效用最大的证券组合险资产时使投资者效用最大的证券组合T1的标准差为：的标准差为：由公式（由公式（6.22）和（）和（6.23），借入无风险资产时投资者效
47、用），借入无风险资产时投资者效用最大的证券组合最大的证券组合T1的预期收益率和方差分别是：的预期收益率和方差分别是：同理，由公式（同理，由公式（6.25），贷出无风险资产时使投资者效用最），贷出无风险资产时使投资者效用最大的证券组合大的证券组合T2的标准差为：的标准差为：由公式（由公式（6.24）和（）和（6.25），贷出无风险资产时投资者效用），贷出无风险资产时投资者效用最大的证券组合最大的证券组合T2的预期收益率和方差分别是的预期收益率和方差分别是41 由于由于A= 0.6 = 60%，所以方程（，所以方程（6.1）变为：）变为：将将R、和和 代入上式，就得到关于代入上式，就得到关于x1的
48、一元二次方程：的一元二次方程： 由求根公式，要使由求根公式，要使x1只有一个根，就必须满足：只有一个根，就必须满足： =b2-4ac=0，即即解之，得：解之，得：同时，可得同时，可得42将将x1代入到代入到x2和和x3中，得：中，得：因此，我们就得到效用最大化的风险证券组合因此，我们就得到效用最大化的风险证券组合T3的权重为：的权重为： 由公式（由公式（6.6）和（）和（6.7），就分别得到效用最大化的风险证券），就分别得到效用最大化的风险证券组合组合T3的预期收益率和方差：的预期收益率和方差：所以，效用最大化的风险证券组合所以，效用最大化的风险证券组合T3的标准差为的标准差为:经过比较，经过
49、比较，T2位于不同借贷利率下证券组合的有效前沿上，位于不同借贷利率下证券组合的有效前沿上，所以所以T2就是不同借贷利率下效用最大化的证券组合。就是不同借贷利率下效用最大化的证券组合。43由公式（由公式（6.14），投资者的最大效用为：），投资者的最大效用为：令令W代表贷出无风险资产的比例，则代表贷出无风险资产的比例，则1-W为投资于风险资产为投资于风险资产M2的比例，故投资者效用最大的证券组合的比例，故投资者效用最大的证券组合T2的预期收益率和方差的预期收益率和方差可分别表示为：可分别表示为：因此，因此，即投资者效用最大的证券组合即投资者效用最大的证券组合T2中贷出无风险资产的比例为中贷出无风
50、险资产的比例为89.27%，也就是说，投资者效用最大的证券组合中有，也就是说，投资者效用最大的证券组合中有89.27%的的资金是存放在银行中。资金是存放在银行中。 44思考题：思考题：1、解释为什么一个投资者的无差异曲线不能相交？、解释为什么一个投资者的无差异曲线不能相交？2、为什么风险厌恶程度高的投资者的无差异曲线比风险厌恶、为什么风险厌恶程度高的投资者的无差异曲线比风险厌恶程度低的投资者的无差异曲线倾斜的更陡一些？程度低的投资者的无差异曲线倾斜的更陡一些？3、一组无差异曲线对于在风险变化时的投资者在风险和收益、一组无差异曲线对于在风险变化时的投资者在风险和收益率之间进行的取舍，意味着什么？
51、率之间进行的取舍，意味着什么？4、“风险厌恶的投资者具有递减的收入边际效用风险厌恶的投资者具有递减的收入边际效用”这一陈述这一陈述的含义是什么？为什么递减的边际效用导致一个投资者拒绝的含义是什么？为什么递减的边际效用导致一个投资者拒绝接受一个接受一个“对等的赌博对等的赌博”？5、考虑如下投资者王平和李珊的两组、考虑如下投资者王平和李珊的两组无差异曲线，确定是王平还是李珊：无差异曲线，确定是王平还是李珊：a）更加厌恶风险；）更加厌恶风险；b）在投资）在投资A和投资和投资B中更偏好投资中更偏好投资A；c）在投资）在投资C和投资和投资D中更偏好中更偏好C。解释你作出的回答的理由。解释你作出的回答的理由。456、假假设设当当你你变变的的富富裕裕时时，你你的的风风险险厌厌恶恶水水平平随随之之降降低低。在在一一个个无无风风险险借借入入和和贷贷出出的的世世界界里里，你你的的最最优优组组合合会会发发生生什什么么样样的的变变化化？你你持持有有风风险险证证券券的的类类型型会会变变吗吗？用用语语言言和和图图形形加加以解释。以解释。 46
