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1、2.4.1 向量在几何中的应用,例1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F在对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平行四边形。,证明:由已知设,即边AE、FC平行且相等,AECF是平行四边形,(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:,例2. 求证平行四边形对角线互相平分,证明:如图,已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M,设,则,根据平面向量基本定理知,这两个分解式是相同的,所以,解得
2、,所以点M是AC、BD的中点,即两条对角线互相平分.,例3.已知正方形ABCD,P为对角线AC上任意一点,PEAB于点E,PFBC于点F,连接DP、EF,求证DP EF。,证明:选择正交基底 ,在这个基底下,设,所以,因此DPEF.,例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.,已知:平行四边形ABCD。 求证:,解:设 ,则,分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 其它线段对应向 量用它们表示。,解析几何中的向量方法,结论:,法向量,例5 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?,猜想: AR=RT=TC,由于 与 共线,故设,又因为 共线, 所以设,因为 所以,解:设,则,线,,故AT=RT=TC,