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1、第6章 信道编码,噪声信道的编码问题,在二进制数字通信系统中，编码器的编码过程分为两步： 信源编码：把信源的消息数据序列编成二进制数字构成的码序列； 信道编码：把二进制数据序列编成具有纠检错能力的二进制序列。 由于信源编码在构造上并未考虑抗干扰，如果把信源编码器的输出直接接入信道，由于信道中存在噪声干扰，将引起误码，降低通信可靠性。 因此提出了以提高通信可靠性为主要目的的信道编码，它是对信源编码器输出的最佳码再进行一次编码，以提高其抗干扰能力的一种编码形式。 信道编码研究消息通过信道传输时如何选择编码方案以减少差错。,信道编译码的基本思想,信道编码的编码对象是信源编码器输出的数字序列M，又称为
2、信息序列。通常是由二元符号0，1构成的序列，而且符号0和1是独立等概的。 信道编码，就是按一定的规则给数字序列M增加一些多余的码元，使不具有规律性的信息序列M变换为具有某种规律性的数字序列C，又称为码序列。码序列中信息序列码元与多余码元之间是相关的。 在接收端，信道译码器利用这种预知的编码规则来译码，或者检错(检验接收到的数字序列R中是否有错)，或者纠错(纠正其中的差错)。 信道编码的基本思想是就是根据相关性来检测和纠正传输过程中产生的差错。,信道编码,差错控制编码的几种方式,前向纠错（FEC）方式,不需要双向信道 不会引入停顿 靠纠错编码,差错控制编码的几种方式,检错重发（ARQ）方式,自动
3、请求重发 也需要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿,差错控制编码的几种方式,需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。 引入较大的停顿（不实时）。 可以纠正任何错误。,反馈检验IRQ方式,差错控制编码的基本原理,如用三位二进制编码来代表八个字母 000 A 100 E 001 B 101 F 010 C 110 G 011 D 111 H 不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误 如用三位编码传四个字母 000 A 011 B 101 C 110 D 发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。,差错控制编码,如用三位字母传二个字母 000 A 111 B 检三个错
4、误，纠正一个错误。 结论 具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必须大于信息码组原来的比特数 引入冗余度。,码重、码距,码重(weight) 一个码组中“1”的数目 码距(distance) 两个码组之间对应位置上1、0不同的位数，又叫汉明(Hamming)距。 10 1 1 0 码重：3 01 1 0 0 2 距离：3,检错、纠错能力,为检查出 e个错误，要求最小码距为 d0 e+1,B,3,检错、纠错能力,为纠正 t个错误，要求最小码距为 d0 2t+1,5 B,4,3,t,d0,检错、纠错能力,为纠正 t 个错误，同时检查出 e 个错误，要求最小码距为 d0 e+t+1（et）,A,B,d
5、0,t,e,t,1,奇偶监督码,偶监督 奇监督 如果以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查出奇数个错误，但不能检测偶数个错误。 最小码距为 dmin=2 这种码检错能力不高，采用什么方法提高呢？,分组码,表示： (n,k) n : 码长 k/n : 编码效率 特点 监督码只用来监督本帧中的信息位 分类 线性码 信息码与监督码之间为线性关系 非线性码 不存在线性关系,分组码 (1),分组码的监督方程 矩阵形式,6.2 线性分组码,分组码 (2),一致效验矩阵 H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过一致效验矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。,
6、分组码 (3),生成矩阵 ，通过生成矩阵可以得到生成码组。 如果输入码组为 0011,一致效验矩阵H,一致效验矩阵描述了监督位和信息位的关系，只要一致效验矩阵H给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。 H的行数就是监督关系式的数目，它等于监督位的数目r，H的每行中“1”的位提表示相应码元之间存在的监督关系。 当H=PIr时，称H为典型阵。式中P为rk阶矩阵，Ir为rr阶单位方阵。,生成矩阵G,G描述了编码的方法，由它可以产生整个码组。即 A=a6a5a4a3a2a1a0=a6a5a4a3G 若G=IkQ，则称G为典型生成矩阵。式中，Q=PT为一kr阶矩阵。 由典型生成矩阵得出的码组中，信
7、息位不变，监督位附加于其后，这种码称为系统码。,（7，4）汉明码编码表 (纠正1位错误且编码效率较高的线性分组码),6.3 线性分组码,所谓线性分组码，是指信息位和监督位满足一组线性方程，即其编码规则可用一组线性方程来描述的分组码。 线性码重要性质: 1.零向量一定是一个码字，称为零码字 2.任意两个码字之和仍为该码中的一个码字。 3.任意码字c是G的行向量的线性组合。 4.线性分组码的最小距离等于最小非零码字重量。,例9.4-3偶数监督码的矩阵形式,an-1 an-2 a0=an-1 an-2 a1 G= = H=1 1 1,1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1,1 1
8、 1,In-1,（7，4）汉明码的监督关系,S1= a6a5a4a2= a6+a5+a4+a2 S2= a6a5a3a1= a6+a5+a3+a1 S3= a6a4a3a0= a6+a4+a3+a0,(7,4)汉明码的矩阵形式(一),由监督关系 a6+a5+a4+a2=0 a6+a5+a3+a1=0 a6+a4+a3+a0=0 写成矩阵形式， 简记作 HAT=0T或AHT=0,例9.4-4 (15,11)汉明码的校验矩阵,H= 其校验方程为 a14+a13+a12+a11+a9+a8+a5+a3=0 a14+a13+a12+a10+a9+a6+a4+a2=0 a14+a13+a11+a10+a
9、7+a6+a5+a1=0 a14+a12+a11+a10+a8+a7 +a4+a0=0,1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1,(15,11)汉明码的生成矩阵,G=,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
10、 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1,汉明码的编码效率,汉明码能纠正一个错码，则要求 2r-1 n 或2r k+r+1 汉明码的编码效率等于 K/n=(2r-1-r)/(2r-1)=1-r/(2r-1)=1-r/
11、n 可见，汉明码是一种高效码。,6.3 循环码,所谓循环码（Cyclic Code）就是任何一个码字循环右移一位后所得到的仍是一个合法码字，也就是说这个码在循环位移运算下具有封闭性。 具有这种循环特性的子空间称为循环子空间。 循环码是线性分组码中最有理论意义和实用价值的一种编码。,例9.5-1 （7，3）循环码,（7，3）循环码,0000000 0010111100101111001011110010 01011101011100 0111001,码字的多项式描述,设码字A=（a0 , a1 , , an-1），显然它可以用码字多项式 A= an-1xn-1 + an-2 xn-2+ + a1
12、x+ a0 来表示。只要在向量和多项式之间建立如下的一一映射即可： （ an-1, an-2 , , a0 ） an-1xn-1 + an-2 xn-2+ + a0 因此，可使用码向量和码多项式两种表达方式来描述同一个码字。,定理一,（n,k）循环码C(x)中存在一个非零的、首一的、次数最低且次数为r(rn)的码式g(x),满足 1. g(x)是唯一的； 2. g(x)的零次项g00； 3. c(x)是码式当且仅当c(x)是g(x)的倍式； 4.r=n-k。 定义满足以上条件的多项式g(x)称为（n,k）循环码的生成多项式。,定理二,g(x)称为（n,k）循环码的生成多项式，当 且仅当g(x)
13、是x2-1的r=n-k次因式。,循环码的生成矩阵G,在循环码中，一个（n，k）码有2k个不同码组，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为“0”的码组，则称g(x)为生成多项式，循环码的生成矩阵可以写成 G=,例9.5-2 （7，3）循环码,唯一的一个前二位皆为“0”的码组是0010111，相对应的g(x)=x4+x2+x+1，则 G= = 或 G=,x2g(x) xg(x) g(x),1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1,1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1,循环码的编码方法,设m(x)为信息码多项式，
14、其次数小于k，编码步骤为： （1）用xn-k乘m(x)； （2）用g(x)除xn-km(x) ； （3）编出的码组为 T(x)= xn-km(x)+r(x),例9.5-3 求110的（7，3）循环码,111 101111100000 10111 11110 10111 10010 10111 101 编码为1100101,（7，3）码编码器,循环码的解码,检错：将接收码组R(x)用原生成多项式g(x)去除，以余式r(x)是否为零判别码组中有无错码。 纠错： （1）用生成多项式g(x)除接收码组R(x)，得出r(x)； （2）按余式用查表的方法或通过某种运算确定错码位置； （3）纠正错码。,循环
15、码的纠检错能力,已知循环码由g(x)生成，所以g(x)也就决定了由它生成的循环码的纠检错能力。 循环码有着极强的纠检错能力，在通信和计算机系统中有着广泛的应用。,结论1：,如果生成多项式g(x)的项数大于1，则由其所生成的循环码能够检测所有的单个错误。,结论2：,如果生成多项式g(x)含有因式(1+x)，则由其生成的循环码能够检测所有奇数个错误。,结论3：,若码长n不大于g(x)的周期l，则由g(x)所生成的循环码能检测所有单个错误和两个错误，即dmin3，或者说至少能够纠正所有单个错误。 所谓多项式的周期，就是使该多项式能够除得尽xl+1的最小正整数l。如果多项式的次数为r，且其周期l=2r-1，则称该多项式为本原多项式。,结论4：,设g(x)的次数为r，则由g(x)所生成的循环码能够检测长度br的突发错误。,常用的循环码,国际电报电话咨询委员会（CCITT）推荐的CRC-CCITT，用于8单位国际5号字母表传输时，用生成多项式g(x)= x16+x12+x5+1生成循环码。 美国二进制同步系统中采用CRC-16，生成多项式为g(x)= x16+x15+x2+1 ，用于8单位码传输检错；采用CRC-12，生成多项式为g(x)= x12+x11+x3+x2+x+1 ，用于6单位码传输检错。 局域网中广泛应用的
