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1、,第六节,一、泰勒公式,二、泰勒级数,幂级数在函数逼近中的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,三、幂级数在近似计算中的应用,本节内容:,对于一些较为复杂的计算，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达某函数.我们常用多项式来近似表达函数，称为用多项式来逼近函数。,在微分应用中，我们已经知道，当变量的绝对值很小时，有如下的近似计算：,显然，在 x=0处，这些多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高，对于精度要求较高且需要估计误差的情形，往往须用高次多项式来近似表达函
2、数，同时给出误差公式。,一、泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1,的某领域内有直至,阶导数，则对此领域内任何一个 ，有,称为泰勒公式，其中,叫做余项，,之间。,容易验证当,设函数,在,在,与,泰勒公式称为麦克劳林公式。,时,就是微分的拉格朗日中值定理。特别地，取,时，泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 写出函数,解: 因为,当,迈克劳林展开式为,其中，,的麦克劳林展开式。,时，得,为余项,其含义是将f(x)展开到(x-x0)的n次幂。,Seriesf(x),x,x0,n,机动 目录 上页 下页 返回 结束,我们也可以利用Mathematica软件来展开函数，其
3、,语句为：,对于本例，如果n=6，则,其中ox7为余项。,其误差不超过万分之一。,当n=6，x=1,时，可以算出,数,二、泰勒级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2 设函数,为函数f(x)在f(x0),特别地，当取,称为,的麦克劳林级数。,则称级数,的某领域内具有任意阶导,在,的泰勒级数。,时，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二是该级数是否收敛于函数,定理 设,收敛于,的充要条件是泰勒公式的余项满足,在此领域内，泰勒级数,同样地，麦克劳林级数,条件是泰勒公式的余项满足,一是该级数在什么条件下收敛，,泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广，,带来了两个问题：,。,。,的某领域
4、内有任意阶导数，那么,在,的充要,收敛于的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 将,解:,（1）先求出,处的值,，当n=2m时,，当n=2m-1时,的幂级数。,展开成,分别算出在,（2）,写出麦克劳林级数：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为对于,（3）求级数的收敛半径,所以级数的收敛区间为,。,有，,或收敛区间余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）,利用麦克劳林公式，不难得出几个常用的初等函数,的幂级数展开式：,（3）,（1）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（5）,（4）,（6）,三、幂级数在近似计算中的应用,在经济和工程技术领域中，常常涉及近似计算问题，例如在
5、债券理论中，为了研究收益率对价格的影响，往往利用泰勒级数的前两项或前三项来近似计算，并根据近似计算公式研究债券的性质，为复杂的债券投资组合提供依据。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由函数产生的泰勒级数是函数的精确表达式：,只要,来估计。,适当小，可用级数前几项部分和来作近似,计算，这种近似计算还是具有相当精确度的，而且,所产生的误差可以由余项,P(y)的二阶导数为,欧拉 目录 上页 下页 返回 结束,变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为,我们来研究幂级数近似计算在固定收益证券中的,是各期现金流的现值和,CFt，它的现值为,应用对于总期限为的付息债券而言，其价格的,，那么债券的
6、理论价格就,P(y)的二阶导数为,根据泰勒级数公式，债券价格P(y)的近似计算公式为,将一阶导数和二阶导数代入上式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或者,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,令,D是债券现金流的加权平均期限，被称为修正的久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，修正值为(1+y)-1.经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标。,C被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积t (t+1)的加权修正值，权数是现金流CFt的现值占整个现金流P的百分
7、比，不同于久期的是，其修正值为(1+y)-2。,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此，债券价格的近似公式简化为,例3 面值为100元的上海世博一期债券期限为7年，每年利息为4元，市场价格为105元求债券的修正久期的凸性，当收益率上升0.01时，世博债券的价格变化。,设 债券的收益率为，则债券的价格等于现金流的总现值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用Mathematica软件，首先定义价格方程,所得现金流为(4+100)元。,解 每份债券前六年的现金流为4元，第七年还本付息,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于收益率y介于0和1之间，所以y0=0.0319,当P0=105元时
8、的y0值,求修正久期,修正久期为6.07052。,求凸性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当收益率上升0.01的时候，世博债券的价格变动幅度为,因此，债券的近似计算公式为,即债券的收益率上升100个基点（0.01），债券的价格大约下降5.84%,有关幂级数的近似计算，也可以直接利用Mathematica软件中函数Series 的功能，它将按照要求将目标函数展开为泰勒级数的前n次幂项，并用o n+1表示余项。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 （1）定义价格函数。,例4. 利用Mathematica软件的幂级数功能函数Series 计算例3的问题。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
9、（2）利用Series 求解债券价格的展开式。,即,P105.01-637.4(y-0.031 9)+2 376.46(y-0.031 9)2,（3）计算债券的价格变动、久期和凸性。,将y=0.041 9代入上式，可得P=98.87，,价格变动幅度=(98.87-105)105=5.83%，,修正久期为,凸性为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 （1）利用Mathematica软件，首先定义债券的价格函数。,例4 2006年某期面值为100 元的附息国债的年限为5年，每年利息为3.7元，如果债券的收益率为4%，求债券的修正久期和凸性。,Out23=98.664 5-441.43(y-0.04)+1 242.32(y-0.04)2+oy-0.043,（2）求y=4%，n=2时，泰勒级数的展开式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）求修正久期和凸性。,债券的修正久期,债券的凸性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本节小结：,2.泰勒级数的定义,1.泰勒公式定义,3.如何利用级数来求近似值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习：习题10 6,1求tanx和arccosx在x0=0处的幂级数展开式，取n=15。,3将下列函数在指定处展开成泰勒级数，取n=6。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：,P237 2、4题,习题10 6,
