《高中全程复习方略配套课件：43平面向量的数量积（人教a版·数学理）浙江专用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中全程复习方略配套课件：43平面向量的数量积（人教a版·数学理）浙江专用（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 平面向量的数量积,三年27考 高考指数: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角.,1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.,1.平面向量的数量积 （1）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，则向量a与b的数量积是数量 ，记作ab，即 ab= .,|a|b|cos,|a|b|cos
2、,（2）向量的投影 设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是 ；向量b在a方向上的投影是 . （3）数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与 的乘积.,|a|cos,|b|cos,b在a的方向上的投影|b|cos,【即时应用】 （1）已知正三角形ABC的边长为1，则 = ； 方向上的投影为 . （2）已知|a|=1，|b|=2，ab=1，则向量a、b的夹角等于 .,【解析】（1） =| | |cosA=11cos60= . 方向上的投影为| |cosA=1cos60= . （2）cos= = = , 又0180,=60. 答案：（1） （2）60,2.平面向量数量积的性质及其坐标表
3、示 已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，为向量a,b的夹角.,x1x2+y1y2=0,【即时应用】 （1）思考：若ab0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角.,（2）已知a=（1，-1），b=(2,4),判断下列命题的真假.（请在括号内填“真”或“假”） |a|+|b|= +2 ( ) 若为向量a、b的夹角，则cos=- ( ) 若a(a+b),则=1 ( ) （a+b）(4a+b)=18 ( ),【解析】|a|+|b|= ,故真. cos= = ,真. a+b=(1,-1)+(2,4)=(2+1,4-1)， a(a+b)=(2+1)-(4-1)=-2
4、+2=0， =1,真. a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)， (a+b)(4a+b)=36+30=18,真. 答案：真 真 真 真,3.平面向量数量积的运算律 （1）交换律：ab=ba; （2）数乘结合律：(a)b= = ; （3）分配律：a(b+c)= .,(ab),a(b),ab+ac,【即时应用】 （1）思考：（ab）c与a(bc)相等吗？ 提示：不一定相等，ab,bc均为实数，(ab)cc，a(bc)a,所以(ab)c与a(bc)不一定相等.,（2）若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)b=0，则a与b的夹角为. 【解析】设a,b的夹角为，
5、(2a+b)b=0，2ab+b2=0， 2|a|b|cos+|b|2=0, 又|a|=|b|0，0180， cos=- ,=120. 答案：120,平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积问题类型及求法 （1）已知向量a、b的模及夹角，利用公式ab= |a|b|cos求解； （2）已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.,2.利用数量积求解长度问题的处理方法 （1）a2=aa=|a|2或|a|= . （2）|ab|= = . （3）若a=(x,y),则|a|= .,【例1】（1）(2011大纲版全国卷）设向量a，b满足 |a|=|b|=1,ab=- ，则|a+2b|=(
6、 ) （A） （B） （C） （D） （2）(2011湖南高考）在边长为1的正三角形ABC中，设 = . （3）(2011辽宁高考改编）已知向量a=(2,1),b=(-1,k), a(2a-b),则(a+b)(a-b)= .,【解题指南】（1）借助|a+2b|2=(a+2b)(a+2b)求解； （2）用基向量 、 表示向量 、 ；（3）借助a(2a -b)=0求k，进而求（a+b）(a-b). 【规范解答】（1）选B.|a+2b|2=a2+4ab+4b2=12+4 (- )+412=3， |a+2b|= .,（2）由题意画出图形如图所示，取基底 ，结合图形可得 = （ ）， = = = = .
7、 答案：-,（3）2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)， 由a(2a-b)得a（2a-b）=10+(2-k)=0, k=12,b=(-1,12), (a+b)(a-b)=a2-b2=(22+12)-(-1)2+122=-140. 答案：-140,【互动探究】若本例（2）题条件改为“若D、E分别为边BC、AC 的中点”，又该如何求 ？ 【解析】D、E分别为BC、AC的中点， = （ ）, ， = =- =-,【反思感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和
8、模的基底进行转化.,【变式备选】在ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2， 4）， =（1，3），则 = . 【解析】 =（-1，-1）= ， =（-3，-5）， =8. 答案：8,平面向量的垂直问题 【方法点睛】 两向量垂直的判断方法及应用 （1）若a,b为非零向量，则ab ab=0；若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab x1x2+y1y2=0. (2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.,【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.,【例2】(2012杭州模拟）已知
9、平面向量a=( ，-1), b=( , ). (1)证明：ab; (2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+（t2 -3)b,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t). 【解题指南】(1)证明ab=0即可，（2）由xy=0及ab=0,寻找k、t之间的关系.,【规范解答】(1)ab= +(-1) =0, ab. (2)a2=4,b2=1,ab=0, 又xy,xy=a+(t2-3)b(-ka+tb) =-ka2+(t-kt2+3k)ab+t(t2-3)b2 =-4k+t3-3t=0，k= .,【反思感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化
10、形为数，从而使向量问题数字化.,【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足( ) ，求t的值.,【解析】（1）由题设知 =(3,5), =(-1,1), 则 =(2,6), =(4,4)， 所以| |=2 ,| |=4 ， 故所求的两条对角线的长分别为4 、2 .,(2)由题设知： =(2,1)， =(3+2t,5+t). 由（ ） 得( ) =0， 即(3+2t,5+t)(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以t=- .,平面向量的夹角的求法 【方法点睛】 求向量夹
11、角的方法 （1）利用向量数量积的定义知，cos= 其中两向量夹 角的范围为0180，求解时应求出三个量：ab,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系.,（2）利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos= . (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用 正余弦定理，三角形的面积公式等求解. 【提醒】ab0 00(0)是为锐角（钝角）的必要而不充分条件.,【例3】（1）(2011湖北高考）若向量a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b与a-b的夹角等于 ( ) （A）- （B） （C） （D） （2）(2011浙江高考）若平面向量 满足 且以向量 为邻
12、边的平行四边形的面积为 则 的夹角 的取值范围是 .,【解题指南】（1）先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角. (2)利用平行四边形的面积可得出sin的范围，进而求出夹角的范围.,【规范解答】（1）选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b =(1,2)-(1,-1)=(0,3)， (2a+b)（a-b)=30+33=9, |2a+b|=3 ,|a-b|=3, cos= ,又0，= . (2)由S= sin=| |sin= 可得， sin= ,故 , . 答案： , ,【互动探究】若将本例（1）题干中向量a改为（1，k），k -1，且2a+b与a-b的夹角
13、为锐角，则如何求实数k的取值范围？ 【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)， k-1,2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角， （2a+b)（a-b)0， 即（2k-1)(k+1)0,k , 当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)0=0, k=-1.又k-1,2a+b与a-b不共线， 故k的取值范围为：k .,【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而求，要注意0,.,【变式备选】已知A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），O为坐标原点， （1） ，求sin2的值. (2)若| |
14、= ,且(-,0),求 的夹角.,【解析】（1） =（cos，sin）-（2，0）=（cos-2，sin）， =（cos，sin）-（0，2）=（cos，sin-2）， =cos（cos-2）+sin（sin-2） =cos2-2cos+sin2-2sin=1-2（sin+cos）=- ， sin+cos= ，1+2sincos= ， sin2= -1=- . (2) =(2,0), =(cos,sin)，, =(2+cos,sin)， | |= = 即4+4cos+cos2+sin2=7 4cos=2即cos= . -0,=- . 又 =(0,2), =( ,- ), 设为 与 的夹角， cos= = , = .,【满分指导】平面向量主观题的规范解答 【典例】（14分）(2011陕西高考）叙述并证明余弦定理. 【解题指南】利用向量数量积证明，由
