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1、第五章 线性时不变系统变换分析,Transform Analysis of Linear Time-Invariant Systems,5.0 引言 傅立叶变换 ，z变换 分析 LTI系统 LTI系统 单位脉冲响应 hn 频率响应 H(ej)hn （傅立叶变换) - 存在（收敛） H(z) hn （z变换) - 傅立叶变换推广，收敛 LTI系统 hn， H(ej)， H(z) Y(ej)= H(ej)X(ej) Y(z) = H(z)X(z) H(z) - 系统函数（system function）,5.1 LTI系统的频率响应 频率响应 - 系统对指数输入（特征函数）ejn的复增益（特征值）
2、 系统的输入输出关系（频域）： Y(ej)= H(ej)X(ej) | H(ej)| - 幅度响应，增益 H(ej) - 相位响应，相移 5.1.1 理想频率选择性滤波器 | H(ej)| 对不同频率的值决定了输出在响应频率上的值。,理想低通滤波器： 选取信号的低频成分，抑制信号的高频成分 其响应的单位脉冲响应： 理想高通滤波器 c| 频率无失真通过，c以下频率不予通过 理想滤波器：（1）hn无限长- 非因果- 计算上不可实现 （2）相位响应为零 因果性非零相位响应,5.1.2 相位失真和延迟（phase distortion and delay） 理想延迟系统： 相位失真：线性相移 一种轻微
3、的失真 产生序列上的移位 延迟失真 （不产生波形上的变形） 近似理想滤波器设计：线性相位响应 理想模型 例：具有线性相位的理想低通滤波器,具有线性相位的理想频率选择性滤波器： 分隔输入信号频带(频率选择) 输出延迟nd 群延迟（group delay）: 相位特性线性程度的一种度量 定义： 含义：对窄带输入xn=sncos(0n) sn 为包络，0载波频率 即X(ej)仅在= 0附近为非零 系统的相位效果（在= 0附近）： 即系统的输出： 包络的延迟 相位特性导数的负值,非因果,例子：衰减和群延迟的效果,5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系统函数 理想频率选择性滤波器 （近似、逼近）一类频
4、率选择性滤波器 考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统： 对于初始松弛（initial rest）的辅助条件因果、线性、时不变 z变换 （分析、描述） 线性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征 方程两边z变换,系统函数： 或 差分方程 系统函数 系数直接对应关系,零极点形式,例：,5.2.1 稳定性和因果性 对一个系统函数H(z)，对应于一个差分方程 （线性时不变） 不同的收敛域不同的单位脉冲响应 hn 因果、稳定的条件： （线性时不变系统） ROC是一个圆的外部，且包括单位圆 也就意味着：系统函数的全部极点在单位圆内 5.2.2 逆系统（Inverse Systems） 定义： 与系统H(
5、z)级联后的总系统函数： G(z) = H(z)Hi(z) = 1 时域： gn = hn hin = n 频率响应：,并不是所有系统都有逆系统，如理想低通滤波器没有逆系统 表示：无法恢复被理想滤波器滤去的频率分量。 具有有理系统函数的一类系统： 零极点- 互换 逆系统的收敛？ 卷积定理表示： H(z)和Hi(z)收敛域重合 （不要求完全相同） 若H(z)因果，收敛域为： 上式收敛域内某个重合区域即Hi(z)的收敛域,例子1：一阶系统的逆系统 Hi(z)收敛域的两者可能：|z|0.5和|z| 0.5 重合的收敛域： |z|0.5 相应的单位脉冲响应： 例子2： 逆系统： 收敛域的两种可能：|z
6、|2和|z| 2都与|z|0.9重合 都是有效的逆系统,推论： H(z)为因果系统，零点是ck ,k=1,M， 当且仅当Hi(z)的收敛域为： 逆系统一定因果。 若同时要求逆系统稳定， Hi(z)的收敛域必须包括单位圆，即 表示H(z)的全部零点在单位圆内。 当且仅当H(z)的零点和极点都在单位圆内时。 稳定因果系统 稳定因果逆系统 定义为：最小相位系统（minimum-phase systems）,5.2.3 有理系统函数的单位脉冲响应 H(z)作z反变换（部分分式法） hn 一阶极点的有理系统函数： 若系统因果，可得： 若至少存在一个非零极点，hn无限长，IIR系统 若除z =0 外，没有
7、极点 hn有限长，FIR系统,FIR系统，差分方程 = 卷积 例子：一个简单的FIR系统，hn为无限长指数序列的截断 其系统函数 分子的零点： 若a为正实数，系统的极点（z = a）被一个零点抵消,M =7,5.3 有理系统函数的频率响应 频率响应： e-j- 变量 频率响应（幅度 相位 群延迟） 零极点关系（表示） 用z = ej代入H(z)， 得频率响应幅度：,采用幅度平方函数： 或 幅度表示：全部零点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积 / 全部极点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积 |1-cke-j |= | ej -ck|/ | ej| = | ej -ck|为矢量ej -ck的长度，
8、 而矢量ej -ck是矢量 ej与矢量ck之差（图示） 对数表示： 称为增益,相位响应： 零点相位和与极点相位和之差（不包括常数项）。 群延迟： 或表示为： 引入相位的主值： 相位用主值表示为： r()是某个正或负的整数,相位函数的主值可以用频率响应的实部和虚部计算： 5.3.1 单个零点或极点的频率响应 幅度、相位、群延迟 零极点的贡献之和 考虑零极点的单一因式： ak = rej 表示零点或极点 r和表示零点或极点在z平面的幅值和相位（图示） 幅度平方： 主值相位： 群延迟：,例：r = 0.9, = 0, /2, 时对数幅度、相位和群延迟随频率的变化曲线,幅度函数，从图中及上式可见： （
9、1）= 附件急剧下陷 （2）r不变时，对数幅度是(- )的函数，频率轴上的平移 （3）对数幅度的最大值出现在(- ) = （4）对数幅度的最小值出现在(- ) = 0，即= ,相位函数： （1） = 时相位为零； （2）对于一定的r，相位函数只是简单地随 不同而平移。 群延迟： （1） 相位在= 附近大的正斜率对应于群延迟最大的负峰值。 几何图表示频率响应 一阶系统函数： 极点：z = 0 零点：z = rej 频率响应：,三个矢量： v1 = ej，v2 = rej，v3 = v1 - v2 = ej- rej 每个零极点代表的矢量 = 零极点到单位圆（随 变化）,频率响应的幅度为： |v1
10、| = 1 上式等于|v3| 相位为 从图中可见，当= 时矢量长度最小幅度函数下降； z = 0的极点矢量v1 ，其长度始终为1，不随变化，不影响幅度。, = 时的零极点图： 两个不同频率的幅度和相位 v3最大( = 0) 减小（增加） 最小（ = ） 相角变化： = 时相等，相角为零 单个因式（1-reje-j）与r的关系： = 情况,5.3.2 多个零极点的例子 由有理系统函数 系统频率响应 例5.8 二阶IIR系统 零点：z =0，二阶零点； 极点：一对共轭极点，z = rej和z = re-j 增益、相位和群延迟分别为：,幅度响应：,r = 0.9, =/4,例5.9 二阶FIR系统
11、单位脉冲响应和系统函数分别为： 是上例的倒数，曲线图负值，零点和极点互换。 例5.10 三阶IIR系统 三个零点，其中一对共轭零点，三个零点均在单位圆上,三个极点，其中一对共轭极点 极点的配置- 总的对数幅频特性（题中的低通滤波器特性） 零点的配置- 抑制幅频特性 （实现频率选择）,相位的跳变： 主值 单位圆上零点,5.4 幅度和相位之间的关系 一般情况下，频率响应的幅度函数 相位函数 无关 对于线性常系数差分方程描述的系统（有理系统函数）， 幅度函数 相位函数 某种制约关系 幅频特性和零极点个数确定 相位特性有限种选择 (2) 相位特性和零极点个数确定 幅频特性有限种选择（除幅度加权因子）
12、(3) 最小相位系统：幅度函数 相位函数 唯一确定 （除幅度加权因子） 上述的关系，可以归结为： 频率响应的幅度平方特性 系统函数的可能选择,考虑将幅度平方特性表示为： 系统函数限制为有理形式： 则,定义复函数C(z): 频率响应的幅度平方为C(z)在单位圆上的求值。 表明：如果|H(ej)|2已知，用z代替ej C(z) 全部可能的H(z) . H(z)中的极点dk C(z) 中的极点dk 和 共轭倒数对 H(z)中的零点ck C(z) 中的零点ck 和 共轭倒数对 每共轭倒数对零极点：一个 H(z) 相联系 另一个 相联系 一个在单位圆内 另一个在单位圆外 若零极点为不在单位圆上的复数，则
13、4个零极点同时存在,如果H(z) 为因果稳定，全部极点在单位圆内。 H(z)的极点 C(z)的极点 但H(z)的零点则不能从C(z)的零点中唯一确定 （最小相位系统？） 本节讨论的问题转化为： 由C(z) （ |H(ej)|2 ）构造出H(z) （可能类型，唯一性） 例5.11 具有相同C(z) 的系统 两个稳定的系统：,分别的零极点图： 相应的C1(z) 和C2(z) 为：,由于分子中 所以 C1(z) = C2(z)，零极点图为： 例5.12 根据C(z)的零极点图，确定 与H(z)有关的零极点。 共轭倒数对零极点： 极点：系统因果稳定，则P1, P2, P3 零点：复数共轭对，Z3或Z6
14、 和 (Z1, Z2)或(Z4, Z5),4种不同的因果稳定的H(z) - 三个极点，三个零点 相同的频率响应幅度特性。 零极点数的限定 假定H(z) 有一个如下的因子： 全通因子 即 容易证明： 表示全通因子相抵消，不能从C(z)的零极点中辨别出来。 零极点不限定，任意个全通因子级联。,5.5 全通系统（all-pass systems ） 全通系统的系统函数： 频率响应： 分子、分母互为共轭，幅度相等，因此 |Hap(ej)| = 1 - 全部频率成分都通过 全通系统的一般形式： dk实数极点，ck复数极点（共轭成对），零、极点数：M = 2Mc+Mr,例：Mr = 2, Mc = 1 每
15、一个极点 与 一个共轭倒数零点 配对 因果全通系统： 单位圆内单极点 + 共轭倒数零点 全通系统的相位函数：,例5.13 一阶和二阶全通系统 极点：系统1，z = 0.9 ( =0, r = 0.9) 系统2，z = -0.9 ( =, r = 0.9),二阶全通系统： 极点 z = 0.9ej/4,结论：因果全通系统的相位argHap(ej)是非正的（0） （不考虑由计算主值产生的2 跳变） 群延迟： 稳定因果全通系统： r1，对群延迟的贡献总是正的。 从群延迟的正值性 相位函数的非正值性,全通系统的用途： 相位失真的补偿，最小相位系统理论，数字滤波器变换，可变截止频率滤波器等。,5.6 最小相位系统 （minimum-phase systems） 有理系统函数的LTI系统 - 频率响应的幅度 不能唯一表征 若因果、稳定 - 极点在单位圆内，零点没有限制 若其逆系统 因果稳定 - 则系统的零极点在单位圆内。 最小相位系统：零极点在单位圆内（逆系统因果稳定） 最小相位 - 相位特性 幅度
