《微积分(下)》习题选解

资源描述

《《微积分(下)》习题选解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微积分(下)》习题选解（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、习题 6.2(P10) 2.估计下列定积分的值: (4) 3 3 1 darctanxxx. 解设,xxxfarctan)(=3, 3 1 x. 因为0 1 arctan)( 2 + += x x xxf,3, 3 1 x,故xxxfarctan)(=在3, 3 1 上单调增加, 其最大值与最小值分别为 3 3 )3(= fM, 36 ) 3 1 ( = fm.由估值定理得: = 3 3 1 3 2 ) 3 1 3( 3 3 darctan) 3 1 3( 369 xxx. 6.设在上可导,且满足)(xf 1,0 = 2 1 0 d)(2) 1 (xxxff,试证:存在) 1,0(c,使得

2、)(c f = c cf)( . 证明设,则在上可导,又 )()(xxfxF=)(xF 1,0 )()()0 2 1 ()(2d)(2) 1 () 1 ( 2 1 0 FffxxxffF= 积分中值定理 ,) 2 1 ,0(. 对在)()(xxfxF= 1,上应用罗尔定理:) 1,0() 1,(c,使得0)(=cF,即=)(cf c cf)( . 7.设函数,在上连续,且,利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点)(xf)(xg,ba0)(xg ,ba,使 = b a b a xxgfxxgxfd)()(d)()(. 证明因为在上连续,则在上必可取得最大值)(xf,ba)(xf,baM和最小

3、值,所以有 m )()()()(xMgxgxfxmg, ,bax. 由定积分性质 1 及性质 5 推论 1: b a b a b a xxgMxxgxfxxgmd)(d)()(d)(, 由及习题 6.2 4.题的结论: 0)(xg b a xxg0d)(, 所以, M xxg xxgxf m b a b a d)( d)()( , 由介值定理:,ba,使得 )( d)( d)()( f xxg xxgxf b a b a = 即 . = b a b a xxgfxxgxfd)()(d)()( 习题 6.4(P18) 第六章习题解答 1 1. 试求下列函数的导数: (2) 2 0 d sin x

4、 t t t . 解 x x x x x t t t x 2 2 2 2 0 sin2 )( sin d sin 2 = . (4) . 0 2 2 dcos x ttx 解 = 0 2 2 dcos x ttxxxxttttx xx 2)cos(dcosdcos 22 0 2 0 2 22 += =. 42 0 2 cos2dcos 2 xxtt x 2. 设是连续函数,且,求. )(xfxttf x = 1 0 3 d)()7(f 解等式两边对xttf x = 1 0 3 d)(x求导: 131)( 23 =xxf, 上式中令2=x: 12 1 )7(=f. 3. 求由所决定的隐函数0d

5、cosde 00 =+ xy t ttty对x的导数 x y d d . 解方程两边对x求导: 0cose=+xy y , 解得 y x y x y e cos d d =. 4. 求下列各极限: (1) x tt x t x + 0 1 0 d)2sin1 ( lim. 解原式= 2 2sin lim 2sin 2sin 1 0 1 0 ee)2sin1 (lim 1 )2sin1 ( lim 0 = += + x x x x x x x x x x x . (3) 2 dsin lim 2 2 2 x tt x x . 解原式=1 1 sin lim 2 2 = x x . 5. 计

6、算下列各定积分: (1) ; + 1 0 2 d) 13(xxx 解原式= 2 1 1| ) 2 1 ( 1 0 23 =+xxx. (3) + 2 1 2d ) 1 (x x x; 解原式= 6 5 4| ) 1 2 3 1 (d) 1 2( 2 1 3 2 1 2 2 =+=+ x xxx x x. 第六章习题解答 2 (5) + 3 1)1 ( d xx x ; 解原式= 2 3 ln|)1ln(lnd 1 11 3 1 3 1 =+= + xxx xx . (7) + + 0 1 2 24 d 1 133 x x xx ; 解原式= 4 1| )arctan(d 1 1 3d

8、 1 e 1 e 1 1 e 1 dlnlndlnlnd ln d ln xxxxx x x x x x =1|ln 2 1 |ln 2 1 e 1 21 e 1 2 =+xx. (17),其中 2 0 d)(xxf + = 1 , 2 1 1 , 1 )( 2 xx xx xf. 解 = 2 0 d)(xxf +=+ 2 1 2 1 0 2 1 1 0 d 2 1 d) 1(d)(d)(xxxxxxfxxf= 3 8 | 6 1 | ) 2 1 ( 2 1 31 0 2 =+xxx. 6. 设 x时, 1d0dsin 2 1 d)(d)()( 00 =+=+= xx tttttfttfx .

9、习题 6.5(P24) 1. 计算下列定积分: (1) 9 4 d 1 x x x ; 解原式2ln27|) 1ln( 2 1 2d 1 1 12d2 1 3 2 2 3 2 3 2 += += += = tttt t ttt t ttx . 第六章习题解答 3 (3) 1 1 d 45 x x x ; 解设tx =45,则)5( 4 1 2 tx=,ttxd 2 1 d=,且当1=x时,3=t;当1=x时,1=t, 于是原式= 6 1 | 3 1 10 8 1 d)5( 8 1 )d 2 1 ( )5( 4 1 3 1 3 3 1 2 1 3 2 = = ttttt t t . (5

10、) 1 2 1 2 2 d 1 x x x ; 解原式 4 1) 42 (|cotd) 1(cscdcos sin cos sin 2 4 2 4 2 2 4 2 = = ttttt t t tx . (7) + 3 122 1 d xx x ; 解原式 3 32 2 sin 1 d sin cos dsec sectan 1 tan3 4 3 4 2 3 4 2 2 = = t t t t tt tt tx . (9) + 5ln 0 d1e 3e e x x x x ; 解设t x =1e,则, 2 1et x +=)1ln( 2 tx+=t t t xd 1 2 d 2 + =,且

11、当0=x时,;当0=tx= 时,.于是 5ln 2=t 原式= = = + = + + + 2 0 2 0 22 2 0 22 2 4| 2 arctan 2 1 422d 2 4 12d 1 2 3)1 ( )1 ( t t t t t t t t t . (9) 2 22 d 1 1 x xx . 解原式 1243 ddtansec |tan|sec 1 sec 3 4 3 4 = = tttt tt tx . 2.计算下列定积分: (1) ; xxxdsin 4 解因为被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,所以原式=0. (2) 2 1 2 1 2 2 d 1 )(arcsin x

12、 x x ; 解原式= 324 |)(arcsin 3 2 )arcsind()(arcsin2d 1 )(arcsin 2 3 2 1 0 3 2 1 0 2 2 1 02 2 = xxxx x x . (3) + 2 2 d)cos(sinxxx; 解原式=2|sin2dcos20dcosdsin 2 0 2 0 2 2 2 2 =+=+ xxxxxxx. (4) + 1 12 3 d 1 252 x x xx ; 第六章习题解答 4 解原式=2|arcsin4d 1 1 40d 1 2 d 1 52 1 0 1 02 1 12 1 12 3 = += + + xx x x x x

13、x xx . (5) ; + 1 1 2d ) 1|2(xxx 解原式= 3 22 |) 13( 9 1 |) 1( 3 1 d) 12(d) 12( 1 0 30 1 3 1 0 2 0 1 2 =+=+ xxxxxxxx. (6) + 4 4 d e1 cos x x x . 解 , += aa a xxfxfxxf 0 d)()(d)( 2 2 |sindcosd e1 )cos( e1 cos d e1 cos 4 0 4 0 4 0 )( 4 4 = + + + = + xxxx xx x x xxx . 3. 设 + x 证明 + = + = + = + xx x x x x t t t t t t x x x 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 d 1 1 d 1 1 )d 1 ( 1 1 1 1 d 1 1 . 6. 证明: . = 1 0 1 0 d)1 (d)1 (xxxxxx mnnm 证明 = = 1 0 1 0 0 1 1 0 d)1 (d)1 ()d()1 ( 1 d)1 (xxxtttttt tx xxx mnmnnmnm . 7. 证明: = 2 00 23 d)( 2 1 d)( aa xxxfxxfx. 证明 = = = 22 00 2 0 222 0 23 d)( 2 1 d)( 2 1 )d()( 2 1 d)( aaaa x

展开阅读全文