函数的极限与连续（2）

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1、2.1 函数的极限与连续,2.1. 1 函数曲线图形的绘制 1. 基本绘制曲线的函数 1） plot：绘制二维线性图形及两个坐标轴； 如果输入参数是一个矩阵，如plot(Y)，其中Y为矩阵，如果矩阵有m行n列，则绘出n个图形，x轴为行索引矢量1: m或比这个范围稍大一点. 如plot有两个参数，其中一个是矢量 ，另一个是矩阵，如plot(x, Y)，x为矢量，Y为矩阵，则是用不同颜色连续地根据矩阵Y的各行或各列中的数据绘图.如果矢量x中元素的个数与矩阵Y的列数相等，则采用矩阵Y的列向数据.如果矢量x中元素的个数与矩阵Y的行数相等，则采用矩阵Y的行向数据.如果Y是方阵，则采用列向数据., 如果在

2、plot语句中，两个输入参数为大小相同得矩阵，如plot(X, Y)，则绘制X的列向数据相对Y的列向数据的图形. plot函数也可以用多对矩阵作为输入参数，例如， plot(X1, Y1, X2, Y2, ) 其中每对矩阵X, Y都产生多个图形，不同对的矩阵大小可以是不同的. 当plot函数的输入参数为一个复矩阵时，如plot(Z), 其中Z为复矩阵，则在绘图时相当于使用real和imag函数将复矩阵分离成实部和虚部2个矩阵，如plot(real(Z), imag(Z), 其中real(Z)和imag(Z)都是实矩阵.,例1、完成以下绘图实验，体验plot的用法。 1）绘制sinx在0,2的图

3、形； 2）在同一图形中绘制sinx、sin(x+/2)与sin(x-/2)在0,2的多个图形； 3）对2）中的曲线分别进行指定点的形状、线条颜色与线型设置。 解： 1）设矢量x为X轴的坐标，y为Y轴的坐标。 在命令窗口输入以下程序， x=0:0.01:2*pi; y=sin(x); plot(x,y); 2）利用命令plot(x1, y1, x2, y2, x3, y3)绘制多个图形，在命令窗口输入以下程序。 x=0:0.01:2*pi; plot(x,sin(x),x,sin(x+pi/2),x,sin(x-pi/2);,3）要指定2）中的曲线点的形状、线条颜色与线型，可以用以下命令绘制。

4、x=0:pi/20:2*pi; y=sin(x); hold on plot(x,sin(x),-.r*); plot(x,sin(x+pi/2),-mo); plot(x,sin(x-pi/2),:bs); hold off,3) 极坐标图形绘制 polar(x, y)，其中x, y分别表示横、纵坐标绘图数据. ezpolar(f) 绘制在默认区域0 theta 2上的极坐标曲线rho = f(theta) . ezpolar(f,a,b) 绘制在a theta b上的极坐标曲线rho = f(theta),例2、试用极坐标绘制出四叶玫瑰和心型线的极坐标图。 解：由极坐标方程的数学表达式可以

5、立即得出结论，四叶玫瑰的周期为，心型线的周期为2，所以绘制极坐标曲线，则先构造一个向量，然后求出向量，调用polar( )函数就可以立即绘制出所需的极坐标曲线。 theta1=0:0.01:pi; rho1=2*cos(2*theta1); polar(theta1,rho1,b); figure %生成新的图形窗口 theta2=0:0.01:2*pi; rho2=2*(1-cos(theta2); polar(theta2,rho2,b);,4）绘制隐函数曲线：ezplot(隐函数表达式) ezplot(f)：绘制在默认区域2 x 2上函数f = f(x)的图形. ezplot(f,min

6、,max) 绘制在指定区域min x max.上函数f = f(x)的图形. 如果隐函数的定义形式为f = f(x,y)，则 ezplot(f)绘制在默认区域2 x 2, 2 y 2.上f(x,y) = 0的图形. ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)绘制在xmin x xmax和ymin y ymax上的f(x,y) = 0的图形. ezplot(f,min,max) 绘制在min x max and min y max 上的f(x,y) = 0图形.,5) 三维参数曲线的绘制 ezplot3(x,y,z) 绘制在默认区域0 t 2上的x = x(t), y = y(t

7、), z = z(t)空间曲线. ezplot3(x,y,z,tmin,tmax) 绘制在指定区域tmin t tmax上的x = x(t), y = y(t), z = z(t)空间曲线. ezplot3(.,animate) 生成极坐标曲线的动画轨迹.。,解：从给出的函数可见，无法用解析的方法写出该函数，对于这样的隐函数，可以给出如下的命令。 ezplot(x2+x*exp(y2)-y*sin(x)+y*exp(x2); 以上语句自动选择x轴范围，我们也可以指定定义域，如： ezplot(x2+x*exp(y2)-y*sin(x)+y*exp(x2)，-3, 3 );,例3、试绘制隐函数

8、的曲线。,例4、绘制三维曲线 图形。,解：利用plot3函数绘制此三维曲线，输入程序如下： t=0:pi/50:10*pi;plot3(sin(t),cos(t),t);,例5、通过对自变量的步距调整来绘制函数细节变化实验：绘制函数在上的曲线。 解：首先采用下面语句直接绘制， x=-pi:0.1:pi;y=sin(1./x);plot(x,y) 这里我们取步距为0.1，得到图1-1-8，下面我们将在附近的自变量步距缩小100倍，而其他部分的图形变化不大，步距仍取0.1，则上述语句改为 x=-pi:0.1:-0.51,-0.5:0.01:0.50,0.51:0.1:pi;y=sin(1./x);

9、plot(x,y) 这样得出的曲线在快变化区域内表现良好。,例6、绘制分段函数的图形。 解：对于分段函数的绘制，可以采用if语句处理，实际上我们可以采用另外一种方法。下面的语句可以绘制分段函数曲线，如图1-1-10 x=-2:0.01:2*pi;y=sin(x).*(x0)+(x.2).*(x=0);plot(x,y),2.1.2 函数的极限, 声明符号变量syms； 极限函数： p=limit(F,x,a)：求符号表达式F在变量 时的极限.缺省a时默认为a=0.缺省x时Matlab将按人们的表达习惯来确定F中的求极限变量. P=limit(F,x,a,left)： 参数left表明求 时的左

10、极限. P=limit(F,x,a,right)： 参数right表明求 时的右极限.,例1求 。 实验M文件程序设计： syms x; %声明符号变量x a=sym(1+x)(1/x); b=limit(a,x,0) 例2求 。 实验M文件程序设计： syms x; A=sym(exp(-x); B=limit(A,x,inf,left),2.1.3 收敛速度与无穷小的阶,1、声明符号变量syms； 2、极限函数：p=limit(F,x,a)； 3、绘图函数：plot plot(y)：以矢量作为plot函数的输入参数，X轴表示元素的索引值； plot(x,y)：用两个长度相等的矢量作为输入参

11、数，调用plot； plot(x,y1,x,y2,x,y3)：以三对矢量作为plot函数的输入参数. 4、图形窗口函数：subplot subplot(m,n,i)：将当前图形窗口分成 个小区域，以第个区域为当前绘图窗口.,例1 举例验证无穷小量的性质 ：无穷小量乘有界量仍为无穷小量。 解：考虑 时，无穷小量 与有界量 ，先考虑两个量的乘积极限，其M文件程序设计如下： syms x; a=sym(x2*sin(1/x); b=limit(a,x,0),例 2 通过实验进行无穷小的比较 无穷小 与 ； 无穷小 与 ； 无穷小 与 ； 无穷小 与,2.1.4 函数间断点类型及特征,本节使用的函数与

12、命令大致与上节相同，主要有： 声明符号变量syms x , y 极限函数p=limit(F,x,a)、 例 研究函数 的间断点x=0。 函数在x=0处无定义， syms x; a=sym(sin(1./x); b=limit(a,x,0) x=-0.2:0.0001:0.2; y=sin(1./x) plot(x,y);,2.1.5 无理数e的计算,极限函数p=limit(F,x,a) 数组元素乘积函数：prod prod(A)：返回数组A的元素乘积； 如果A是一个向量，返回该数组元素的乘积； 如果A是一个矩阵，prod(A)把A的每一列看作一个向量，返回每列元素乘积构成的行向量. 设置数值显

13、示精确度：vpa R = vpa(A)：设置A中元素的精确到d位小数(包括小数点)，其中d由digits设置； R = vpa(A,d)：用数字d代替digits的设置，进而A中元素的精确到d位小数.,例1 已知，请利用图像研究时的变化，并近似计算e值精确到15位小数。 解：理论上n可取无限大，但为更好观察图像变化，我们灵活取n值。 M文件程序处理如下： x=input(x=);% 输入自变量x（x可以是数值或离散化） n=input(n=);% 输入n为展开项数 d= input(d=);% 输入d为小数位数 y=1; %函数初始值 hold on for i=1:n; y=y+x.i/pr

14、od(1:i); plot(x,y); %依次输出函数图像; z=vpa(y,d) %设置d位小数，并依次显示z值 end,运行M文件程序， 1）输入x=-10:0.01:10,n=10时，输出函数图像结果如图1.7所示。 2）输入x=1,n=10，d=30时,输出z值结果如下，其图像为一个极限为e的点列,例2 研究验证两种重要极限之一的，并画出函数的图像观察的变化。 解：M文件程序处理如下： x1=0.001:0.001:100； y1=(1+1./x1).x1; plot(x1,y1); %绘出随增大的变化图像,如图1.9 x=0.001:1000:100000; y=(1+1./x).x; y=vpa(y,20) %求出x增大时的函数值y变化值 syms x; y=limit(1+1/x)x, x, inf) %求出的极限，证明,