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1、6.1 测量误差概述 仪器测量某量产生误差(error) 表现相同条件下对某量多次重复观测 所得观测值l1， l2 ， ln一般互不相等 设观测量的真值 观测量li的误差 产生误差原因仪器误差、观测误差、外界环境 误差分类偶然误差、系统误差。,第6章 测量误差的基本知识,1) 偶然误差(Accident error) 符号与大小呈偶然性 单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律 偶然误差真误差 案例1三等、四等水准测量 在cm分划水准标尺上估读mm位 估读的数有时过大，有时偏小 案例2经纬仪测量水平角 大气折光使望远镜中目标的成像不稳定 引起瞄准目标有时偏左、有时偏右 多次观测取平均值可以削
2、弱偶然误差的影响 不能完全消除偶然误差的影响。,2) 系统误差(System error) 符号与大小保持不变，或按一定规律变化 案例钢尺量距 用没有鉴定、名义长为30m、 实际长为30.005m的钢尺量距 每丈量一整尺段距离就量短了0.005m 产生-0.005m的量距误差 各整尺段的量距误差大小都是-0.005m 符号都是负，不能抵消，具有累积性 系统误差对观测值的影响具有一定的规律性 找到规律就可对观测值施加改正 以消除或削弱系统误差的影响。,误差定义 规范规定使用前，测量仪器应检验和校正 按规范要求操作 布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时 应有一定量的多余观测 严格按规范要求进行
3、测量时 系统误差可被消除或削弱到很小 讨论误差只含有偶然误差(真误差)的情形：,6.2 偶然误差的特性 定义 大部分情况下，真值 未知，求不出 某些情形中，观测量函数的真值已知 案例三角形内角和闭合差定义为 i=(1+ 2 + 3)i180 真值 ， 的真误差 结论三角形闭合差的真误差等于闭合差本身,358个三角形闭合差真误差统计分析案例,横坐标， 纵坐标 长条矩形面积 ，等于频率,偶然误差的四个特性 偶然误差有界一定观测条件、有限次观测 偶然误差绝对值不超过一定限值 小误差出现频率大，大误差出现频率小 绝对值相等的正、负误差出现频率大致相等 观测次数n，偶然误差平均值 0,误差个数n ，误差
4、区间d 0 小长条矩形顶折线光滑曲线正态分布密度曲线 正态分布概率密度函数 高斯(1777-1855)1794年(17岁)研究误差规律时发现 ，f()0 |1|2|， f(1)f(2) f()=f()， f()关于y轴对称 E()=0 Expectation数学期望,概率论称随机变量 为连续型随机变量时，可以证明 E()随机变量的数学期望(Expectation) Var()方差(Variance)，标准差 为离散型随机变量时，上述两式变成,用数学工具软件Mathematica证明,用数学工具软件Mathematica绘函数图,数学工具软件Mathematica背景资料 20世纪相当长时间内
5、大学数学教学体系和教学内容仍保持20世纪初框架 工科数学体系基本沿用20世纪50年代末方案 教学内容无大的变化 内容多、负担重、枯燥乏味、学生学习积极性不高 一直困扰着大学数学教育 新技术在数学教学中的应用严重滞后于其他学科 数学课逐渐变成不少学生不喜欢、枯燥乏味、 不知有何用途的课程，数学教学与社会需求严重脱节,针对该问题，美国国家科学研究管理机构组织协调 投入相当多资金和人力完成两项改革 “微积分改革”，“将数学及其应用贯穿到大学课程” 改革的成功经验在20世纪末影响我国数学课程改革 当前，国内外数学课程教改的主要做法 1) 改革现有数学课程,删除陈旧内容,简化形式推理 和繁琐技巧，实现逻
6、辑推理、图形与数值计算结合 适当增加有关数学应用内容 包括数学在现代社会和新科学技术中的应用实例 和将实际问题归结为数学问题即“数学建模”的方法 达到提高学生对数学的广泛应用性的认识 培养学生具备一定的用数学解决实际问题的能力。,2) 开设一些新的诸如“数学建模”类课程 计算机科学和其他学科渗透到数学 或数学渗透到其他学科的交叉学科课程 以及学生运用计算机为手段 自己动手学习数学和认识数学的课程“数学实验” 1996年，中国工业与应用数学学会和全国高等学校数学与力学教学指导委员会 相继将“数学实验” 列为面向21世纪教学内容 和课程体系革新的突破口 并定位于理工科大学生数学教育的基础课。,“数
7、学实验”是计算机技术和数学软件 引入教学后出现的新事物 什么是数学实验？ 对数学进行折腾 连蒙带猜找规律 从问题出发 学生动手、动眼、动脑 借助于PC机成千上万次折腾 尝试数学的探索、发现、应用。,“数学实验”倡导将数学工具软件(例如Mathematica、Matlab、Maple、Xmath、Lindo、Lingo等) 作为学习、研究和应用数学的一种新手段 强调学生的主体性，学生主要不再通过教师传授 而是通过自己亲手实验去发现知识、获取知识 在美国等发达国家大学， 数学工具软件已成为大学生/硕士生/博士生必须掌握的基本程序语言 更是早已成为研究设计单位和工业部门 解决工程计算问题的一种标准软
8、件。,1988年发布Mathematica 1.0 总设计师美国伊利诺大学教授Stephen Wolfram 美国纽约时代周刊杂志称其为“不容忽视的重要软件” 商业周刊后来将其列入当年最重要的十大新产品名单 Mathematica作为一项理论与实践结合的革新成果 在科学技术领域迅速流行开来 Mathematica 在计算机上进行数学表达式化简、 多项式四则运算、求最大公因式、因式分解、 常微分方程和偏微分方程解函数、 函数幂级数展开、求极限、曲线拟合、线性规划、 矩阵和行列式运算、线性方程组符号解、 函数作图等几乎涉及数学学科所有领域工作。,Mathematica可以将研究人员 从繁琐杂的数学
9、公式推导和数值计算中解放出来 从而有更多的时间和精力 从事建模方法和过程分析研究。,6.3 评定真误差精度的指标 1) 标准差与中误差 对真值 进行了n次等精度独立观测 观测值l1， l2 ， ln 真误差1，2 ，n 观测值的标准差 n有限时的标准差 中误差(mean square error)m表示,例6-1 已知某段距离真值49.984m 用50m钢尺丈量6次，求一次丈量50m的中误差,Excel计算,2) 相对误差 专为距离测量定义的精度指标 单纯用距离丈量中误差不能反映距离精度情况 丈量50m距离，测量中误差5mm 丈量100m距离，测量中误差5mm 不能认为这两段不同长度的距离丈量
10、精度相等 引入相对误差,相对误差无单位，分子、分母长度单位应统一 习惯将相对误差分子化为1，分母为一个较大数 分母越大相对误差越小，距离测量精度越高 后者精度前者,3) 极限误差 某一事件发生的概率定义 任一正实数，事件|的概率为,fx-5800P程序P6-3计算极限误差发生概率,执行P6-3程序计算极限误差发生概率的操作过程,Mathematica的NIntegrate 函数计算,结论 真误差绝对值的占31.731% 真误差绝对值2的占4.55% 真误差绝对值2的占0.27% 后两者属于小概率事件，小样本中不会发生 观测次数有限时 绝对值2或3的真误差不可能出现 测量规范常以2或3作为真误差
11、的允许值 限差|限|=2=3m或 |限|=3=3m 观测值误差大于上述限差时 认为它含有系统误差，应剔除。,6.4 误差传播定律及其应用 测量中，有些未知量不能直接观测测定 需由直接观测量计算求出 水准仪一站观测的高差h=ab 三角高程测量初算高差h=Ssin 直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差 函数的误差由直接观测量的误差传播过来,1) 线性函数的误差传播定律及其应用 函数Z=f1X1+f2X2+fnXn 系数f1， f2， fn 误差独立观测量X1，X2， Xn 观测量中误差m1， m2， mn 函数的中误差,(1) 等精度独立观测量算术平均值的中误差 等精度独立观测值l1，l2，l
12、n 算术平均值 每个观测量的中误差m 结论 算术平均值的中误差=为一次观测中误差的 n时，,例6-1 每次距离丈量中误差m=5.02mm 6次丈量距离平均值的中误差 平均值的相对误差,(2) 水准测量路线高差的中误差 独立观测n站高差h1， h2，hn 路线高差之和h= h1+ h2+hn 每站高差观测中误差m站 计算上山水准路线的高差中误差,平坦地区水准测量 每站前后视距Li基本相等 水准路线总长L(km) ，则n=L/Li 代入 每km水准测量高差观测中误差,2) 非线性函数的误差传播定律及其应用 非线性函数Z=F(X1，X2，Xn) X1，X2，Xn误差独立观测量 中误差m1，m2，mn
13、,例6-2 测量斜边S=163.563m，中误差mS=0.006m 测量角度=32o1526“，中误差m=6“ 边长与角度观测误差独立,求初算高差h的中误差mh 解 h=Ssin，取全微分得,角度的微分量d“除以“ 是为了将d“的单位由秒弧度 h=Ssin=163.563sin32o1526“=87.297m f1=h/S=87.297163.563=0.533721 f2=hcot/“=87.297cot32o1526“206265 =0.000671,fx-5800P初算高差误差传播定律计算程序P6-4,6.5 等精度独立观测量的最可靠值与精度评定 等精度独立观测值l1，l2，ln 算术平
14、均值 真误差1，2，n 取极限 结论观测次数n时，算术平均值真值 n有限时，取算术平均值为未知量的最可靠值。,真值 已知 真值 未知用 代替 计算m 定义观测量改正数(残差residual) 有 真误差 常数，i=-Vi 取平方i2=2-2Vi+Vi2 =n2+2V+VV= n2+VV,取极限 l1，l2，ln误差独立，其两两协方差=0,观测次数n有限时 等精度独立观测时 观测值改正数Vi计算一次观测中误差的公式 白塞尔公式(Bessel formula),1838年德国天文学家F.W.白塞尔(Bessel) 用当时最先进的望远镜、三角方法 对一颗十分昏暗的恒星天鹅座 61进行观测 推算出它距
15、地球的距离为11.2光年 证实了哥白尼的日心地动学说。 距离波兰天文学家尼古拉哥白尼 1514年：地球和其他行星都绕太阳旋转已324年 1841年白塞尔测出地球椭球参数 长半径a=6377397m/扁率f=1:299.15(白塞尔椭球) IUGG1975椭球a=6378140m， f=1:298.257 a=743m,恒星是宇宙物质的主要表现形式 银河系总质量90%集中在20002500亿个恒星中 千百年来，在探索宇宙的科学家心目中 恒星是什么？它们是怎样发光的？ 恒星是永恒的，还是有各自的诞生和归宿？ 等问题始终是头等重大课题 打开恒星世界真象的第一把钥匙是测量恒星距离 知道恒星间距离推算出恒星大小 根据观测的恒星亮度每秒种总辐射能量。 1838年德国天文学家(白塞尔) 测出 地球距离第一个恒星天鹅座61的距离11.2光年 给恒星研究带来了曙光。,例6-3 在例6-1中，假设距离真值未知
