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1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点37 立体几何中的向量方法1.（2013北京高考理科17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求证：AA1平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.【解题指南】（1）利用面面垂直证明线面垂直.（2）建系，求出二面角对应两个面的法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值.（3）设出D点坐标，利用向量解题.【解
2、析】（1）是正方形，。又，。（2），。分别以为建立如图所示的空间直线坐标系。则，设平面的法向量为，平面的法向量，。可得可取。由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为。（3）点D的竖轴坐标为t(0t4)，在平面中作于E,根据比例关系可知， ，又，。2. （2013辽宁高考理科18）如图， 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点。求证：平面平面;若求二面角的余弦值。【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直，由面面垂直的判定定理解决问题；借助前面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值。【解析】由是圆的直径，得；由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得；又所
3、以，又因为据面面垂直判定定理，平面平面;过点作,由知平面.如图所示，以点为坐标原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系。在直角三角形ABC中，所以又所以故设平面的法向量为则不妨令，则故设平面的法向量为，由同理可得于是结合图形和题意，二面角的余弦值为第19题解答图13. （2013湖北高考理科T19）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点. 第19题图（）记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的位置关系，并加以证明。（）设（）中的直线与圆O的另一个交点为D，且点Q满足,记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线异面直
4、线PQ与EF所成的角为，二面角E-C的大小为，求证： 【解题指南】（）利用线面平行的判定和性质定理求解.（）用综合法,利用三角函数证明或用向量法,利用法向量的夹角证明.【解析】（）直线平面，证明如下： 第19题解答图1连接，因为，分别是，的中点，所以. 又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以.因为平面，平面，所以直线平面. （）方法一：如图1，连接，由（）可知交线即为直线，且.因为是的直径，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而，所以平面.连接，因为平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作，且. 连接，因为是的中点，所以，从而四边形是平行四边形，.连接，因为平面，所以是在平面
5、内的射影，故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即， 于是在，中，分别可得，从而，即. 第19题解答图2方法二：如图2，由，作，且.连接，由（）可知交线即为直线.以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有,. 于是，所以，从而. 又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为，所以由 可得 取.于是，从而. 故，即. 4. （2013重庆高考理科19）如图，四棱锥中，底面，为的中点，（）求的长；（）求二面角的正弦值【解题指南】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标根据可求出的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.
6、【解析】（）如图,连接交于,因为,即为等腰三角形,又平分,故,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则而,得.又故因底面，可设,由为边中点, 又.因故即(舍去),所以（）由（）知设平面的法向量为平面的法向量为由得因此可取.由得因此可取从而法向量夹角的余弦值为故二面角的正弦值为5. （2013新课标高考理科18）如图，三棱柱中，.（）证明;（）若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】()取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.()利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角,或建立空间直
7、角坐标系求解.【解析】（）取的中点，连结，.因为，所以.由于，故为等边三角形，所以.因为，所以面.又平面，故.（）由（）知，又平面平面，交线为，所以平面，故，两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系则有，,.则， ， .设平面的法向量为，则有，即，可取.故所以直线与平面所成角的正弦值为.6.（2013大纲版全国卷高考理科19）如图，四棱锥都是等边三角形.（I）证明：（II）求二面角【解析】（I）取的中点，连结，则为正方形.过作平面，垂足为.连结，.由和都是等边三角形知,所以，即点为正方形对角线的交点，故，从而.因为是的中点，是的中点，所以，因此.
8、（II）解法一：由（I）知，,故面.又面,所以.取的中点，的中点，连结，则,.连结，由为等边三角形可得.所以为二面角的平面角.连结，则.又，所以.设，则，故.在中，.所以.因此二面角的大小为.解法二：由（I）知，两两垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设，则,.设平面的法向量为，则，可得取，得，故平面PCD的一个法向量为.设平面的法向量为,则，,.取，得，故平面PAD的一个法向量为于是.由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小为.7. （2013四川高考理科19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，
9、说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值【解题指南】本题第(1)问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件,在第(2)问的求解过程中需要建立空间直角坐标系利用法向量进行求解.【解析】(1)在平面ABC内,过点P作直线lBC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.因为AA1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1.(2)设AA1=1, 如图,过A1
10、作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.则A1(0,0,0),A(0,0,1).因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,故,M(,1),N(,1),所以=(，,1),=(0,0,1),=( ,0,0).设平面AA1M的一个法向量为=(x1,y1,z1),则故有从而取x1=1,则y1=-3,所以n1=(1,- ,0).设平面A1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则故有从而取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1).设二面角AA1MN的平面角为,又为锐角,则cos=.故二面角AA1MN的余弦值为.8.
11、(2013天津高考理科T17)如图,四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.【解题指南】方法一:(1)建立空间直角坐标系,写出的坐标,利用数量积证明. (2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量,由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值. (3)直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦,确定向量的坐标,由
12、向量的模求线段AM的长.方法二:(1)要证明线段垂直,先证明线面垂直,关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E,然后进行证明. (2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值,关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角,然后在三角形中求解. (3)首先构造三角形,设AM=x,在直角三角形AHM,C1D1E中用x表示出AH,EH的长度,最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】(方法一)如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1) 易得，于是，所以.(2) 设平面B1CE的法向量
13、则即消去x,得，不妨设，可得一个法向量为由(1)知，又CC1B1C1，可得，故平面的一个法向量.于是所以因此二面角B1CEC1的正弦值为(3) 设,则.可取为平面一个法向量.设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，于是于是解得所以 (方法二)(1)因为侧棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1,经计算可得B1E= ,B1C1=,EC1=,从而所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1C1E=C1,所以B1C1平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1CE. (2)过B1作B1GCE于点G,连接C1G,由(1)知,B1C1CE
14、,B1C1,B1G平面B1C1G,B1C1B1G=B1,故CE平面B1C1G,又C1G平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在RtB1C1G中,B1G=,所以sinB1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E,过点M作MHED1于点H,可得MH平面ADD1A1,连接AH,AM,则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x,从而在RtAHM中,有MH=,AH=,在RtC1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=,在AEH中,AEH=135,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos 135,得整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以线段AM的长为.9.（2013上海高考理科T19）如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平
