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1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点39 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2015四川高考理科T10)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3) B.(1,4)C.(2,3) D.(2,4)【解题指南】数形结合、分类讨论.结合几何特征,可以利用三角函数设出切点坐标,利用点差法可表示出半径,再结合圆与抛物线的位置关系,进一步确定半径范围.【解析】选D.当直线与x轴
2、垂直的时候,满足条件的直线有且只有2条.当直线与x轴不垂直的时候,由对称性不妨设切点M(5+rcos,rsin)(02.由于点M在抛物线内,所以y24x,将坐标代入可求得r4,综上,2rb0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率.(2)求椭圆的方程.(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.【解题指南】(1)由椭圆知识先求出a,b,c的关系,设直线FM的方程为y=k(x+c),求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率k的值.(2)由(1)设椭圆
3、方程为,直线与椭圆方程联立,求出点M的坐标,由|FM|=可求出c,从而可求椭圆方程.(3)设出直线FP:y=t(x+1),与椭圆方程联立,求得t=,求出x的范围,即可求直线OP的斜率的取值范围.【解析】(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为,直线FM的方程为两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为(c,c).有解得c=1,所以椭圆的方程为.(3)设点P的坐标为(x,y),直
4、线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得-x-1,或-1x0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.当x(-,-1)时,有y=t(x+1)0,于是m=,得m(,).当x(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此m0）的离心率是，点在短轴上，且CDBP（1）求椭圆的方程;（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。【解题指南】(1)利用向量关系求出，再利用离心率求出（2）先假设存在。通过与轴平行的两根特殊直线带入算出的值为
5、1。再设任意直线，由韦达定理带入验证是否对于任意直线，都满足题意。【解析】（1） 由知，解得，再由离心率是得到 ；因此椭圆方程为 （2） a)取过点的直线为 ，此时 ; ;b)取过点的直线为，此时；;令解得 .现设直线为，验证当是否使得为定值.联立直线与椭圆得到 ，；设 ，由韦达定理知： 。所以，存在常数，使得为定值 。5.（2015安徽高考文科T20）设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为。（1）求E的离心率e;(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB。【解题指南】（1）由和椭圆的离心率公式求得
6、。（2）通过向量的数量积得出。【解析】（1）由题意可知点M的坐标是，又,所以，进而得，故。（2）由N是AC的中点可知，点N的坐标为，可得,又，从而。由（1）的计算结果可知，所以，故。6.（2015安徽高考理科T20）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.【解题指南】（1）由和椭圆的离心率公式求得。（2）根据点N关于直线AB的对称点S在直线AB上且联立方程组求得b的值。【解析】（1）由题意可知点M的坐标是，又,所以，进
7、而得，故。（2）直线AB的方程为，点N的坐标为，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则NS的中点T的坐标为，又点T在直线AB上，且，从而有，所以，故椭圆的方程为7. (2015北京高考理科T19)(14分)已知椭圆的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示).(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得OQM=ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)由点P可求得b2,再利用可求得a.写出直线PA方程,令y=0得M坐标.(2)
8、把OQM=ONQ转化为tanOQM=tanONQ.【解析】（1）椭圆 过 ，所以 ，离心率 ，所以 ，所以椭圆方程为 。因为 ， ，所以直线 的方程为 ，直线PA与x轴交于M，令 ，则 ，所以 。（2）因为 ，所以直线PB的方程为 ，直线PB与x轴交于N，令 ，则 ，所以 。设 ， ， ，因为，所以 ，所以 。所以 ，所以 。因此，存在点 ，使。8. (2015北京高考文科T20)(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率.(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率.(3)试判断直线B
9、M与直线DE的位置关系,并说明理由.【解题指南】(1)化成标准方程再求离心率.(2)表示出AE方程,求出点M坐标,再求BM的斜率.(3)由(2)可知BMDE,所以只需证明BM的斜率为1.【解析】(1) 椭圆C化为标准方程 ，则 ，所以离心率 。.(2)由AB过点D(1,0)且垂直于x轴可得AB方程为x=1,设A(1,m),B(1,-m),AB方程与椭圆方程联立解得m2=.AE方程为y-1=(x-2),令x=3得M(3,2-m).所以BM的斜率为。(3)当AB斜率不存在时,DE的斜率为1,由(2)可知直线BM与直线DE斜率相等,所以BMDE.当AB斜率存在时,设AB:y=k(x-1)(k1),A
10、(x1,y1),B(x2,y2).由消y得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,=36k4-4(1+3k2)(3k2-3)=12+24k20, ，直线AE方程： ，令 得 ，直线BM的斜率为 = =1. 所以BM/DE。综上，BM/DE。9.(2015天津高考文科T19)(本小题满分14分)已知椭圆 (ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55,(1)求直线BF的斜率.(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.求的值;若|PM|sinBQP=759,求椭圆的方程.【解题指南】(1)
11、先由ca=55及a2=b2+c2,得a=5c,b=2c,直线BF的斜率 (2)先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q的横坐标,可得先由|PM|sinBQP=759得|BP|=|PQ|sinBQP=157|PM|sinBQP=553,由此求出c=1,故椭圆方程为x25+y24=1.【解析】(1)由已知 及 可得故直线BF的斜率(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),由(1)可得椭圆方程为直线BF的方程为y=2x+2c,两方程联立消去y得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立消去y得21x2
12、-40cx=0,解得 .又因为,及xM=0得由得,所以,即 ,又因为所以|BP|=|PQ|sinBQP=157|PM|sinBQP=553.又因为yP=2xP+2c=-43c,所以因此553c=553,c=1,所以椭圆方程为.10.(2015四川高考理科T20)如图,椭圆E:(ab0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程.(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)由离心率可得a与b的一个关系式,由椭圆过
13、点(,1)可得关于a与b的另一个关系式,进而可求方程.(2)由特殊到一般,先找出特殊位置时的定点坐标,再证明在一般情况下也存在,在解题过程中注意数形结合,利用平面几何知识简化解题步骤,结合一元二次方程根与系数的关系得出结论.【解析】(1)由题意知,椭圆过点(,1),所以又联立解得,a2=4,b2=2,所以,椭圆方程为.(2)假设存在不同于点的定点使恒成立，当平行于由得点在轴上，设当垂直于轴时，由得：设由三角形相似得所以，又所以， （1）联立，得，所以，将其代入（1)得，恒成立，故存在满足题设。11. (2015江苏高考T18)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程.(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.【解题指南】(1)利用椭圆的离心率以及右焦点到左准线的距离,联立方程组求解即可得出椭圆的方程.(2)设AB的斜率为k,联立直线AB与椭圆的方程,利用弦长公式表示出AB的长,利用点斜式求出垂线PC的方程,得出P点的坐标,表示出PC的
