《高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质学案 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质学案 文（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题知识点一直线与平面垂直 1直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面内的_一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即：a，b，la，lb，abP_.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_即：a，b_.2直线与平面所成的
2、角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角的范围：.答案1(1)任意(2)相交l(3)平行ab1(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnl Dmn解析：因为l，所以l，又n，所以nl.故选C.答案：C2(必修P69练习题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG中必有()ASG平面EFGBSD平面EFGCGF平面SEFDGD平
3、面SEF解析：解法1：在正方形SG1G2G3中，SG1G1E，SG3G3F，在四面体SEFG中，SGGE，SGGF，GEGFG，所以SG平面EFG.解法2：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除C；在GSD中，GSa(正方形边长)，GDa，SDa，所以SG2SD2GD2，SDG90，从而排除B和D.答案：A3线段AB的长等于它在平面内射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为_解析：由题意知cos，又090，60.答案：60知识点二二面角的有关概念 1二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_
4、的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角2平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条_，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_的直线垂直于另一个平面l答案1(1)两个半平面(2)垂直于棱2垂线ll交线lala4(2017衡水模拟)设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l解析：对于A，若l，l，则，可能相交；对于B，若l，则平面内必存在一直线m与l平行，则m，又m，故.选项C，l可能平行于或l在平面内；选项D，l还可能平行于或在平面内答案：B5如图，在三棱锥DABC中，若A
5、BCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有_(填序号)平面ABC平面ABD；平面ABD平面BCD；平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE；平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE.解析：因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故只有正确答案：热点一直线与平面垂直的判定与性质 【例1】已知四棱锥PABCD的底面是菱形，且PAPC，PBPD.若O是AC与BD的交点，求证：PO平面ABCD.【证明】在PBD中，PBPD，O为BD的中
6、点，所以POBD，在PAC中，PAPC，O为AC的中点，所以POAC，又因为ACBDO，所以PO平面ABCD.【例2】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C
7、，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.【总结反思】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD
8、，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADAAB平面PAD，而PD平面PADABPD，又ABAEAPD平面ABE热点二平面与平面垂直的判定与性质 【例3】(2016江
9、苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA
10、1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.【总结反思】(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个
11、平面. (2017南昌模拟)如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点(1)求证：平面EFG平面PAD.(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥MEFG的体积解：(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CDAD，所以CD平面PAD.又因为PCD中，E，F分别是PD，PC的中点所以EFCD，所以EF平面PAD.因为EF平面EFG，所以平面EFG平面PAD.(2)因为EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，所以CD平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG
12、的距离等于点D到平面EFG的距离，所以VMEFGVDEFG，取AD的中点H，连接GH，EH，则EFGH，因为EF平面PAD，EH平面PAD，所以EFEH.于是SEFHEFEH2SEFG，因为平面EFG平面PAD，平面EFG平面PADEH，EHD是正三角形，所以点D到平面EFG的距离等于正EHD的高，即为.因此，三棱锥MEFG的体积VMEFGVDEFGSEFG.热点三平行与垂直的综合问题 【例4】如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点(1)证明：AE平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，
13、并加以证明；若不存在，请说明理由【解】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF.四边形ABCD是矩形，O为AC的中点又F为EC的中点，OFAE.又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)当点P为AE的中点时，有PMBE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB.又ABCD，PHCD.P，H，C，D四点共面平面ABCD平面BCE，且平面ABCD平面BCEBC，CDBC，CD平面BCE.又BE平面BCE，CDBE，BCCE，且H为BE的中点，CHBE.CHCDC，BE平面DPHC.又PM平面DPHC，PMBE.【总结反思】处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置. (2016四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.()在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；()
