《高中数学第二章平面向量2_3从速度的倍数到数乘向量2_3_2平面向量基本定理课件2北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2_3从速度的倍数到数乘向量2_3_2平面向量基本定理课件2北师大版必修4（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 平面向量基本定理,【知识提炼】,平面向量基本定理与基底 (1)平面向量基本定理： (2)基底：成为基底的条件：向量e1,e2_.,不共线,任一,1e1+2e2,不共线,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)0能与另外一个向量a构成基底吗? 提示:不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的. (2)平面向量的基底是唯一的吗? 提示:不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,当基底一旦确定后,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.,2.在ABC中, 则 等于 ( ),【解析】选A.如图,3.在平面向量基本定理中,若a=0,则1=2=_. 【解析】当a=0,即1e1+2e
2、2=0时, 因为0e1+0e2=0, 所以根据实数1,2相对于基底e1,e2唯一性知1=2=0. 答案:0,4.在平面向量基本定理中,若ae1,则2=0;若ae2,则1=_. 【解析】当ae1时,a=e1=1e1+2e2, 所以根据实数1,2相对于基底e1,e2唯一性知1=,2=0. 同理可知当ae2时1=0. 答案:0,【知识探究】 知识点 平面向量基本定理 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:平面向量基本定理的内容是什么? 问题2:如何用已知向量表示指定向量?,【总结提升】 1.对平面向量基本定理的四点说明 (1)实质:平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任意向量都可以沿两个
3、不共线的方向分解成两个向量和的形式.,(2)唯一性:平面向量基本定理中,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是唯一的.只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,故基底的选取不唯一. (3)特殊性:零向量与任意向量都共线,因此零向量不能作为基底. (4)体现的数学思想:这个定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,可以选择恰当的基底,将问题中涉及的向量用基底化归,使问题得以解决.,2.平面向量基本定理与向量共线定理的联系 由平面向量共线定理可知,任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的,故平面向
4、量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广.,【题型探究】 类型一 对基底的正确理解 【典例】1.设e1,e1是不共线的两个向量,给出下列四组向量: e1与e1+e2;e1-2e2与e2-2e1;e1-2e2与4e2-2e1;e1+e2与e1-e2.其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号).,2.如图所示,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴 影区域内(不含边界)运动,且 则x的取值范围是_; 当x=- 时,y的取值范围是_.,【解题探究】1.典例1中判断两个向量是否为一组基底的依据是什么? 提示:不共线即两个向量不是零向量并且方向不相同也不相反
5、. 2.典例2中 满足什么条件时,点P,A,B三点共线? 提示:当x+y=1时三点共线.,【解析】1.中,设e1+e2=e1,则 无解.所以e1+e2与e1不共线,故e1与e1+e2可作为一组基底;同理,可得中的两个向量不共线,可作为一组基底;中的两个向量共线,不可作为一组基底. 答案:,2.由题意得: 由-a0,得x(-,0). 又由 则有0x+y1, 当 答案:(-,0),【方法技巧】对基底的正确理解 (1)两个向量能否构成基底,主要看两向量是否为非零向量且不共线. (2)一个平面的基底一旦确定,那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示.,【拓展延伸】正确应用基底的几个关注点 (1)
6、若a=0,则有且只有1=2=0,使a=1e1+2e2. (2)若a与e1(e2)共线,则2=0(1=0),使a=1e1+2e2. (3)若e1,e2不共线,1e1+2e2=1e1+2e2,则1=1且2=2. (4)若e1,e2不共线,1e1+2e2=0,则恒有1=2=0.,【变式训练】设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组: 其中可作为这个平行 四边形所在平面的基底的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选B. 共线; 则 共线; 不共线; 共线.由平面向量基底的 概念知向量组可以作为平面的基底.,类型二 用基底表示向量 【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3
7、e1-2e2,b= -2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c. 【解题探究】向量a和b能表示c的实质是什么? 提示:其实质是向量a和b不共线,能够作为一组基底.,【解析】因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,则xa+yb=x(3e1-2e2)+ y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因为e1,e2不共线, 所以c=a-2b.,【延伸探究】 1.(改变问法)本例的条件不变,是否存在实数,使得d=a+b与c共线?说明理由.,【解析】因为a=3e1-2e2,b=-2e1+e2, d=a+b=(3e1-2e2)+(-2e1+e2) =(3-
8、2)e1+(-2+)e2,所以如果d,c共线, 则c=kd(kR), 即 所以=-2. 故存在实数,当=-2时,d,c共线.,2.(变换条件)本例的条件“a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2”变为 “ =3e1-2e2, =e1+e2, =7e1-4e2,若A,B,D三点共线”试求实 数的值.,【解析】因为 =(7e1-4e2)-(e1+e2) =(7-)e1-5e2,且A,B,D三点共线,所以 共线, 即存在实数,使得 所以3e1-2e2=(7-)e1-5e2=(7-)e1-5e2, 因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,【方法技巧】应用平面向量基本定理时的关注点 (
9、1)充分利用向量的加法、减法的法则,在平行四边形、三角形中确定 向量的关系. (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系,如中点、三等分点等. (3)一个重要结论:设a,b是同一平面内的两个不共线的向量,若x1a+ y1b=x2a+y2b,则有,【补偿训练】如图,已知在OAB中,延长BA到C,使AB=AC,D是将 分成21的一个分点,DC和OA交于点E,设 试用a,b 表示向量,【解析】因为点A为BC的中点, 所以,【延伸探究】 1.(变换条件)本题条件不变,若 求实数的值. 【解析】如图, 因为 =a-2a+b=(-2)a+b. 因为 共线,所以存在实数m,使得 即 即(+2m-2)a+ b
10、=0. 因为a,b不共线,所以,2.(改变问法)本题条件不变,试用a,b表示向量 . 【解析】设 因为 共线, 所以存在实数m,使得 即(-2)a+b= 即(+2m-2)a+ b=0.,因为a,b不共线,所以 所以 所以,规范解答 平面向量基本定理的应用 【典例】已知 设tR,如果3a=c, 2b=d, e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上?,【审题指导】(1)要使C,D,E三点在一条直线上,则存在实数k,使得 可以想到用向量a,b,c,d,e表示 (2)由3a=c,2b=d,e=t(a+b),可以用向量a,b表示 进而联想到 平面向量基本定理,需要考虑向量a,b是否共线. (3)分向量a,b共线、不共线两种情况讨论.,【规范解答】,【题后悟道】 1.合理的选择基底 用基底表示向量是解决向量问题的基础,应根据已知条件灵活选择,通 常以与待求向量密切相关的两个不共线的向量作为基底,如本题,可以 用向量a,b表示,2.关注平面向量基本定理成立的条件 对基底的正确理解是应用平面向量基本定理的关键,忽视作为基底的两个向量应不共线这个条件,将会造成解题考虑不周全而出现错解或漏解,如本题,如果忽视对向量a,b是否共线进行讨论将使解题考虑不周全.,
