《高中数学 第二章 平面向量 2_3_2 平面向量的正交分解及坐标表示 2_3.3 平面向量的坐标运算学案（含解析）新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2_3_2 平面向量的正交分解及坐标表示 2_3.3 平面向量的坐标运算学案（含解析）新人教a版必修4（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作23.2 & 2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量的正交分解及坐标表示提出问题问题1：在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，xiyj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？提示：相同问题3：如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？提示：一一对应导
2、入新知1平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则(x，y)叫做a的坐标，记作a(x，y)，此式叫做向量的坐标表示3向量i，j，0的坐标表示i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)化解疑难辨析点的坐标与向量的坐标(1)当且仅当向量的起点在原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标(2)书写不同，如：a(1,2)，A(1,2)(3)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐
3、标的向量有无穷多个(4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.平面向量的坐标运算提出问题设ax1iy1j，bx2iy2j.问题1：a，b的坐标分别是什么？提示：(x1，y1)，(x2，y2)问题2：试求3a和2ab.提示：3a3(x1iy1j)3x1i3y1j，2ab(2x1x2)i(2y1y2)j.问题3：3a与2ab的坐标分别是什么？提示：(3x1,3y1)，(2x1x2,2y1y2)问题4：若把向量平移到，则和的坐标相同吗？的坐标是C点的坐标吗？提示：相同的坐标不是C点
4、坐标导入新知平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a(x，y)，R，则a(x，y)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)化解疑难向量坐标的特点(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位
5、置无关(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.平面向量的坐标表示例1已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和与的坐标解由题知B，D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，B.x2cos 120，y2sin 120，D.，.类题通法求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标活学
6、活用已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60.(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)，求的坐标答案：(1)(2，6)(2)(，7)平面向量的坐标运算例2(1)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量32_，2_.(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a3b的坐标解(1)(11,13)(7，14)(2)ab(1,2)(3，5)(2，3)；ab(1,2)(3，5)(4,7)；3a3(1,2)(3,6)；2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)类题通法平面向量的坐标运算技巧在进行平面向量的坐标运算时，应先将平
7、面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘向量相应坐标的积)活学活用1若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()AabB.abC.ab Dab答案：B2若向量(2,3)，(4,7)，则等于()A(2，4) B(3,4)C(6,10) D(6，10)答案：A由向量相等求坐标例3(1)若a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，且cpaqb，则p_，q_.(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标解(1)14(2)由A(2,4
8、)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，所以33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3,24)，x10，y120；(x23，y24)(12,6)，x29，y22，所以M(0,20)，N(9,2)，(9,2)(0,20)(9，18)类题通法坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值活学活用已知a，B点坐标为(1,
9、0)，b(3,4)，c(1,1)，且a3b2c，求点A的坐标答案：A(8，10)典例(12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由解题流程规范解答由题可知(1,2)，(3,3)，(1,2)t(3,3)(13t,23t)(2分)(1)若P在x轴上，则有23t0，t；(3分)若P在y轴上，则有13t0，t；(4分)解得t.(6分)(2) (13t，23t)(4,5)(33t，33t)(8分)若四边形OABP是平行四边形，则有 ，(10分
10、)即方程组显然无解(11分)四边形OABP不可能是平行四边形(12分)名师批注由向量坐标与点的坐标之间的关系可知，向量的坐标就是P点坐标正确求解的坐标是后续解题的关键点在x轴上，只需纵坐标为0即可点在y轴上，只需横坐标为0即可点在第二象限，需横坐标小于0，纵坐标大于0.此处易搞混坐标符号而导致解题错误假设四边形OABP是平行四边形，则.由相等求t，依据t是否有解判断假设是否成立即可此处易出现找不到关于t的关系式而造成无法求解的情况. 活学活用如图，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，1)，C(1，2)，求第四个顶点D的坐标答案：点D的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，6)
11、随堂即时演练1(全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案：A2已知ab(2，8)，ab(8,16)，则a()A(3,4) B(5，12)C(1，4) D(4,8)答案：A3若A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则2_.答案：(4,9)4已知a(3,4)，点A(1，3)，若2a，则点B的坐标为_答案：(7,5)5已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若(R)，则为何值时，(1)点P在第一、三象限角平分线上？(2)点P在第三象限内？答案：(1)(2)1课时达标检测一、选择题1已知向量(1，2)，(3
12、,4)，则等于()A(2,3)B(2，3)C(2,3) D(2，3)答案：A2已知a(5,6)，b(3,2)，c(x，y)，若a3b2c0，则c等于()A(2,6) B(4,0)C(7,6) D(2,0)答案：D3已知a(3，1)，b(1,2)，若manb(10,0)(m，nR)，则()Am2，n4 Bm3，n2Cm4，n2 Dm4，n2答案：C4已知A(7,1)，B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a等于()A2 B1C. D.答案：A5设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案：D二、填空题6已知A(2,3)，B(1,4)，且(sin ，cos )，则_.答案：或7已知e1(1,2)，e2(2,3)，a(1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成1e12e2的形式为_答案：ae1e28已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC.设 (R)，则 _.答案：三、解答题9已知点A(1,2)，B(2,8)及，求点C，D和的坐标解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)由题意可得(x11，y
