隐函数的导数

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1、第二章 导数与微分,第五节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,三、相关变化率,四、数学建模的实例,一、隐函数的导数,函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系的表示形式是多种多样的。,例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯一的y与之对应，,因此我们说这条曲线(或者方程x2+y3+siny=2)确定了一个函数y=f(x)，,称其为由该方程确定的隐函数.,则称方程,在区间,一、隐函数的导数,如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x，,一般地,通过方程 相应地总有满足这个方程的唯一的实数y,则称方程 在区间

2、I上确定了一个隐函数.,存在，,相应的，诸如,等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数,隐函数 能化为显函数吗？,由方程 不能解出y来，因此该隐函数不能显化.,把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化.,例如：,并不是任意一个隐函数都能显化的.,我们关心的是，若方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行显化而直接由方程求出它的导数呢？,例1 求方程 确定的隐函数 在 点的导数,解 用 替换 中的 y，得,方程两边同时对 求导数，得,解方程即可求得,解这个关于 的方程，得,即,注意到 y 是 x 的函数这一事实，我们可以不必像上边那样去作代换，而直接将方程两边同时对 x 求导数，有,由方

3、程 可知，当 时， ，因此,这一步需要特别注意什么问题？,你注意到隐函数导数的表示式的特点了吗？,求隐函数在某一点处的导数时应特别注意什么？,总结一下求隐函数的一阶导数可分哪几步？,例2 求方程 所确定的隐函数 的导数,整理得,解 方程两边同时对 求导数，利用复合函数的求导法则（注意，这里 是 的函数），得,于是有,1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数, 因此对y的函数求导时要用复合函数求导法则). 2. 解方程，求出y (注意y表达式中即含有x，也含有 y).,例3 求椭圆 上点 处的切线方程,解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定的隐函数在点 处的导数.,解得,原方

4、程两边分别对 x 求导，得,因此，所求切线斜率,从而，所求的切线方程为,讨论：要求切线方程，关键要找到什么？,下面又应怎么办？,解 由隐函数的求导法，得,于是,例4 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数 .,上式两边再对 求导，得,将上边求得 的结果代入，得,下面应怎么办？,？,？,您看求隐函数的二阶导数的步骤可分几步？其中需要特别注意什么？,1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y的表达式. 3. y的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y都是x的函数). 4. 将y代入到上面求出的y中(注意y表达式中即含有x，也含有 y).,于是,解 将方程的两边取对

5、数，得,例5 求 的导数.,上式两边对 求导，注意到 是 的函数 ，得,隐函数！,讨论: 这是一个幂指函数, 既不能按照幂函数求导, 也不能按照指数函数求导. 你想怎么解决这个矛盾？,对数 求导法,若方程左右两边同时取对数, 能解决问题吗？,由这个方程能说 y是 x 的函数吗？,于是,例6 求 的导数.,解 将方程的两边取对数（假定 ），得,上式两边对 求导，注意到 是 的函数 ，得,于是,讨论: 这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差”好求导吗？怎么能“积化和差”?,当 时,当 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.,总结一下，什么时候适合使用“对数求导法”？,1. 幂指函数求导数；

6、2. 函数为多个因子的乘积。,求一般幂指函数 的导数时，同样可以用上述 “对数求导法”但注意到 ，也可以利用复合函数求导法则求导如,二、由参数方程所确定的函数的导数,实例：抛射体的运动轨迹,其中g为重力加速度，t为时间.,某时刻 t 时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标 x 与纵坐标 y，它们都与 t 存在函数关系. 如果把对应于同一个 t 的 x,y 的值看作对应的，这样就得到 x 与 y 之间的函数关系,利用代入消元法，消去参数 t 得到,则称此函数关系所表达的函数为由上述参数方程所确定的函数,下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数:,一般地，若参数方程,确定了y与x之间的函数关系，,

7、如果在上述参数方程中函数 具有单调连续的反函数 ，,并且 与函数 可以构成复合函数，其中t 为中间变量,于是,由一阶微分形式的不变性，有,再由 ，利用反函数求导法则得,代入 得,与 可以构成复合函数 ，,定理1(参数方程求导法则)设参数方程,若 在区间 内可导，并且,中， 具有单调连续的反函数 ，并且,则有,（参数方程求导计算公式）,例7 求由参数方程,解,所确定的函数 的微商 .,例8 已知椭圆的参数方程为,求它在 相应的点处的切线方程,曲线在点 的切线斜率为：,由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为,即,讨论: 求一点处的切线需要知道什么？由 我们能知道什么？,若 皆二阶可导，有,设函数

8、的参数方程为 ，,利用参数方程求二阶导数,参数方程的一阶导数为,对一阶导数关于x求导,其变量t应看作中间变量,而按照复合函数求导法，,由于,因此,在实际计算时，通常利用,不必刻意去记公式.,因此,例10 求由摆线的参数方程 所确定的函数 的二阶导数,总结一下，求参数方程确定的函数的二阶导数应该注意什么呢？,而 与 又都,三、相关变化率,设变量y与x之间存在着函数关系y=f(x)，,都是（对它们的自变量 ）可导的，,这两个相互依赖的变化率称为相关变化率,是第三个变量 的函数： ，,如果函数,那么由于 与,因此二者分别相对于 的变化率 ,之间存在依赖关系，,之间也一定存在着依赖关系,我们要研究的相

9、关变化率问题就是要研究变化率 , 之间的关系，从而利用其中的一个求出另外的一个,若变量x,y之间的关系是y=f(x)，由复合函数求导法则，得 , 之间的关系为,即,解,已知梯子下端滑动的速率，欲求上端下滑的速率我们必须首先建立梯子上端下滑的位移与下端离开墙脚的位移之间的关系,例11 有一长度为5米的梯子铅直的靠在墙上假设其下端沿地板离开墙脚而滑动，当其下端离开墙脚1.4米时，其下端滑动的速率为3米/分问此时梯子上端下滑的速率为多少？,设梯子上端下滑的位移为 米时下端离开墙脚的位移为x米，如图所示，有,讨论: 要求的是谁对谁的相关变化率？已知的是谁对谁的相关变化率？首先应该做什么工作？,这就得到了 ，关于 的导数之间的关系由 米时， 米/分，将它们代入上式，得,所以这时梯子上端下滑的速率为0.875米/分,将 的两边关于 分别求导，得,上端下滑的速率与下端离开墙脚的速率分别是 与 分别对时间 的导数 与 ,通过这个例题，总结一下，求相关变化率问题主要分几步？,1. 建立两个变量（如x,y）之间的函数关系； 2. 对该关系式两边分别对这第三个变量（如t）求导，得到x,y的变化率（如 ）之间的关系； 3. 根据变化率之间的关系式，利用已知的变化率求出未知的变化率。,