《高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算三课件北师大版选修2_1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算三课件北师大版选修2_1(40页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 空间向量与立体几何,2 空间向量的运算(三),学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 空间向量数量积的概念,思考1,答案,求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角,当夹角和长度不确定时,可用已知夹角和长度的向量来表示该向量,再代入计算.,思考2,120.,答案,梳理,(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a|b|cosa,b叫作a,b的数量积,记作ab. (2)数量积的运算律,abac,(ab),ba,知识
2、点二 空间向量的数量积的性质,|a|2,ab0,|a|b|,|a|b|,题型探究,类型一 空间向量数量积的运算,命题角度1 空间向量数量积的基本运算 例1 (1)下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明. p2q2(pq)2;,解答,此命题不正确. p2q2|p|2|q|2, 而(pq)2(|p|q|cosp,q)2 |p|2|q|2cos2p,q, 当且仅当pq时,p2q2(pq)2.,|pq|pq|p2q2|;,解答,此命题不正确. |p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq,pq|, 当且仅当(pq)(pq)时,|p2q2|pq|pq|.,若a与(ab)c(ac)b
3、均不为0,则它们垂直.,解答,此命题正确. a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0, 且a与(ab)c(ac)b均为非零向量, a与(ab)c(ac)b垂直.,(2)设a,b120,|a|3,|b|4,求: ab;,解答,ab|a|b|cosa,b, ab34cos 1206.,(3a2b)(a2b).,解答,(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|2 3|a|24|a|b|cos 1204|b|2, (3a2b)(a2b)39434( )41627246461.,(1)如果已知a,b的模及a与b的夹角,则可直接代入数量积的公式计算. (2)如果
4、欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.,反思与感悟,跟踪训练1 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a3b|等于,|a3b|2(a3b)2a26ab9b2 16cos 60913, |a3b| .,答案,解析,命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题 例2 已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:,解答,则|a|c|2,|b|4, abbcca0.,解答,解答,两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任
5、意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.,反思与感悟,跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求:,解答,解答,类型二 利用数量积求夹角或模,命题角度1 利用数量积求夹角 例3 已知BB1平面ABC,且ABC是B90的等腰直角三角形,ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若ABa,求异面直线BA1与AC所成的角.,解答,ABBC,BB1AB,BB1BC,,又异面直线所成的角是锐角或直角, 异面直线BA1与AC所成的角为60.,反思与感悟,利用向量求异面直线夹角的方法,跟踪训练3 已知PO、PA分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的投影,l,且lOA. 求证:l
6、PA.,证明,因为lOA,,因为PO,且l,所以lPO,,所以lPA.,命题角度2 利用数量积求模(或距离) 例4 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA13,BAD90,BAA1DAA160,求AC1的长.,解答,因为BAD90,BAA1DAA160,,利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a| 求解即可.,反思与感悟,跟踪训练4 如图,已知线段AB平面,BC,CDBC,DF平面,且DCF30,D与A在的同侧
7、,若ABBCCD2,求A,D两点间的距离.,解答,类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题,因为OBOC,ABAC,OAOA, 所以OACOAB, 所以AOCAOB.,例5 如图,在空间四边形OABC中,OBOC,ABAC,求证:OABC.,证明,反思与感悟,(1)证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法 先用向量a,b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为0.,跟踪训练5 已知向量a,b满足:|a|2,|b| ,且a与2ba互相垂直,则a与b的夹角为_.,
8、45,答案,解析,a与2ba垂直,a(2ba)0, 即2ab|a|20. 2|a|b|cosa,b|a|20, 4 cosa,b40, cosa,b , 又a,b0,180,a与b的夹角为45.,当堂训练,2,3,4,5,1,|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14. |a2b3c| .,1.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a2b3c|等于 A.14 B. C.4 D.2,答案,解析,答案,解析,2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是,2,3,4,5,1,易知正确;,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:,其中真
9、命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.0,答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,答案,解析,则a,b_.,2,3,4,5,1,5.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为_.,答案,解析,1222122(12cos 120021cos 120)2,,规律与方法,1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义:利用ab|a|b|cosa,b,并结合运算律进行计算. (2)利用图形:计算两个数量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入ab|a|b|cosa,b求解.,本课结束,