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1、第3讲 导数及其应用,-2-,热点考题诠释,高考方向解读,1.(2017浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ),答案,解析,-3-,热点考题诠释,高考方向解读,2.(2017全国2,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,答案,解析,-4-,热点考题诠释,高考方向解读,答案,解析,-5-,热点考题诠释,高考方向解读,-6-,热点考题诠释,高考方向解读,-7-,热点考题诠释,高考方向解读,5.(2017天津,理20)设aZ,已知定义
2、在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数. (1)求g(x)的单调区间; (2)设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)0; (3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且,-8-,热点考题诠释,高考方向解读,-9-,热点考题诠释,高考方向解读,(2)证明 由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m),h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m). 令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),则H1(x
3、)=g(x)(x-x0). 由(1)知,当x1,2时,g(x)0, 故当x1,x0)时,H1(x)0,H1(x)单调递增. 因此,当x1,x0)(x0,2时,H1(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)0,即h(m)0. 令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H2(x)=g(x0)-g(x). 由(1)知g(x)在1,2上单调递增, 故当x1,x0)时,H2(x)0,H2(x)单调递增; 当x(x0,2时,H2(x)0,H2(x)单调递减. 因此,当x1,x0)(x0,2时,H2(x)H2(x0)=0,可得H2(m)0,即h(x0)0.所以,h(m)h(x0)0.,
4、-10-,热点考题诠释,高考方向解读,由(2)知,当m1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点; 当m(x0,2时,h(x)在区间(x0,m)内有零点. 所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1, 由(1)知g(x)在1,2上单调递增,故0g(1)g(x1)g(2).,-11-,热点考题诠释,高考方向解读,-12-,热点考题诠释,高考方向解读,导数是高中数学选修板块中重要的部分,应用广泛.随着浙江进入新高考,导数回归高考,导数试题在知识和能力考查中将占有重要地位.高考对导数的考查主要有:用导数求切线的斜率、判断单调性、求极值、最值等,而利用导数考查能力的压轴题型,往往以数
5、列、方程、不等式为背景,综合考查学生逻辑推理、转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力. 导数试题的类型主要有:一是利用导数求曲线的切线方程和判断直线与曲线的位置关系;二是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,求函数的极值或最值;三是利用导数解决与函数零点有关的问题;四是利用导数解决不等式和求参数范围的问题. 考向预测:通过函数与导数综合考查单调性和最值问题仍然是浙江省的热点,也是难点,题型主要是解答题,也不排除出现考查切线或函数最值问题的选择题或填空题.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,答案,解析,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,规律方法求曲线的切
6、线方程必须分清条件“在点P”与“过点P”的区别,对于前者可直接由已知点的横坐标代入导函数求出切线斜率;而对于后者,则必须设出切点坐标,用切点坐标来表示切线方程,再由已知条件解出切点坐标.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,迁移训练1 若直线y=kx与曲线y=x+e-x相切,则k= .,答案,解析,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,迁移训练2 已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为 .,答案,解析,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)当k0时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(
7、x)在区间(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,解: (1)由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+), 当k0时,kx0, ex-kx0, 令f(x)=0,则x=2, 当02时,f(x)0,f(x)单调递增. 函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+).,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)由(1)知,k0时,函数f(x)在区间(0,2)内单调递减, 故函数f(x)在区间(0,2)内不存在极值点; 当k0时,设函数g(x)=ex-kx,x(0,+). g(x)=ex-k=ex-eln k, 当00,y
8、=g(x)单调递增, 故函数f(x)在区间(0,2)内不存在两个极值点; 当k1时, 得x(0,ln k)时,g(x)0,函数y=g(x)单调递增, 函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k), 函数f(x)在区间(0,2)内存在两个极值点,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-22-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-23-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-24-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,规律方法1.利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域. (2)求导数f(x). (3
9、)若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0,则当x=a时f(x)有极小值f(a);若在点x=b处有f(b)=0,且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则当x=b时f(x)有极大值f(b).,-25-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,3.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,-26-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,迁移训练3 已知
10、函数f(x)的导数为f(x),f(x)不是常数函数,且(x+1)f(x)+xf(x)0对x0,+)恒成立,则下列不等式一定成立的是( ) A.f(1)2ef(2) B.ef(1)f(2) C.f(1)0 D.ef(e)2f(2),答案,解析,-27-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,迁移训练4 已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;,-28-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,解： (1)因为f(x)=excos x-x, 所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在
11、点(0,f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.,-29-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-30-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-31-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-32-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-33-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,例4已知函数f(x)=ln x+ax. (1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m,求实数a和m的值; (2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的零点x1,x2,求实数a的
12、取值范围.,解: (1)f(x)=ln x+ax, 函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m, f(1)=1+a=2,得a=1. 又f(1)=ln 1+a=1,函数f(x)在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,m=-1.,-34-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-35-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-36-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-37-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,规律方法1.函数恒成立问题和存在性问题应转化为函数最值问题,利用导数分析函数单调性,从而得出最值,求出参数的取值范围. 2.与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数
13、研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数图象的交点问题),进而确定参数的取值范围.特别对三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a0),-38-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,3.利用导数证明不等式,主要是构造函数.通过导数判断函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立,或通过求函数的最值,当该函数的最大值或最小值可使不等式成立时,则不等式恒成立,从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的解题方法是依据不等式的特点,进行等价变形.构造函数,借助图象观察或参变分离,转化为求函
14、数的最值问题.,-39-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,迁移训练5 已知函数f(x)=(t+1)ln x+tx2+3t,tR. (1)若t=0,求证:当x0时,f(x+1)x- x2; (2)若f(x)4x对任意x1,+)恒成立,求t的取值范围.,-40-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-41-,答题规范提分 解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.,-42-,-43-,-44-,1,2,3,4,5,1.已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
15、,答案,解析,-45-,1,2,3,4,5,2.若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 . f(x)=2-x f(x)=3-x f(x)=x3 f(x)=x2+2,答案:,-46-,1,2,3,4,5,g(x)在R上单调递减,不具有M性质; 对,设g(x)=exx3,则g(x)=exx2(x+3),令g(x)=0,得x1=-3,x2=0, g(x)在(-,-3)上单调递减,在(-3,+)上单调递增,不具有M性质; 对,设g(x)=ex(x2+2),则g(x)=ex(x2+2x+2
16、), x2+2x+2=(x+1)2+10, g(x)0,g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填.,-47-,1,2,3,4,5,-48-,1,2,3,4,5,-49-,1,2,3,4,5,4.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解: (1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). ()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-ln a)单调递减,在(-ln a,+)单调递增.,-50-,1,2,3,4,5,-51-,1,2,3,4,5,(1)如果常数k0,求函数f(x)在区间(0,k
