《2018-2019学年人教b版必修五 函数的视角看数列 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年人教b版必修五 函数的视角看数列 学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1函数的视角看数列数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题.下面从函数角度对数列有关问题进行分析，体会数列与函数的有机结合.一、利用函数单调性求数列的最大项例1已知数列an的通项公式为annn+1，nN，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由.分析设anf(n)，可通过函数f(n)的单调性来判断数列的单调性，从而求解.解设anf(n)，则f(n)nn+1，f(n1)(n1)n+2.则f(n1)f(n)(n1)n+2nn+1n+1，当n3时，f(n1)f(n)0.综上可知，an在n1，2，3时
2、，单调递增；在n4，5，6，7，时，单调递减.所以存在最大项，且第4项为最大项.点评数列可以看作是一个定义在正整数集(或其子集)上的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一组函数值.数列的通项公式体现了数列的项与其序号之间的对应关系.二、利用函数思想求数列的通项例2已知数列an的通项公式ann2n，nN，若：(1)数列bn满足bna2n1，求bn的通项公式；(2)数列cn满足cn，求cn的通项公式.分析设anf(n)，函数f(n)中的n用某一代数式(n)代替，整理，即可求解.解设f(n)n2n，则：(1)bnf(2n1)(2n1)22n14n22n，则bn4n22n，nN.(2)cnf(2n
3、1)(2n1)22n14n2n，则cn4n2n，nN.点评数列是特殊的函数，因此要善于运用函数的观点、知识来解决数列的有关问题，居高临下使问题变得清晰，问题的解决也往往简捷得多.三、利用函数周期性求数列的项例3已知数列an中，a11，a26，an2an1an，则a2018的值为.分析如果直接求a2018，运算量太大，而求通项an也很难办到，那么数列an的各项之间是否有规律可循？不妨从前几项入手试一试.解析由a11，a26，及an2an1an，得a3a2a1615，a4a3a2561，a5a4a3156，a6a5a46(1)5，a71，a86，a95，a101，a116，a125，因此an是以6
4、为周期的数列，所以a2018a63362a26.答案6点评由数列的递推公式写出数列的前几项，再由前几项归纳、猜想、发现数列的周期性，从而解决问题.2求数列通项的四大法宝一、公式法当题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an来求解.例1已知数列an的前n项和Sn3n2，求其通项公式an.解当n1时，a1S13121；当n2时，anSnSn13n2(3n12)3n3n123n1，又a112311，所以数列an的通项公式an二、叠加法若数列an满足anan1f(n1)(n2)，且f(1)f(2)f(n1)可求，则可用叠加法求通项公式.例2已知数列an满足a11，an3n1an1(n2)，求其通项公式
5、an.解由已知，得anan13n1(n2)，所以a2a13，a3a232，a4a333，anan13n1，以上式子左右两边分别相加，得ana1332333n1，所以an1(n2)，又当n1时，a11，所以an(nN).三、叠乘法若数列an满足f(n1)(n2)，其中f(1)f(2)f(n1)可求，则可用叠乘法求通项公式.例3已知在数列an中，a13，anan1(an0，n2)，求其通项公式an.解由a13，anan1，得，所以，(n2)，以上式子左右两边分别相乘，得，所以an(n2)，又a13，所以an(nN).四、构造法当题中出现an1panq(pq0且p1)的形式时，把an1panq变形为
6、an1p(an)，即an1pan(p1)，令(p1)q，解得，从而构造出等比数列an.例4数列an满足a11，an1an3(nN)，求其通项公式an.解设an1t(ant)，则an1ant，与已知比较，得t3，所以t4，故an14(an4).又a141430，故数列an4是首项为3，公比为的等比数列，因此an43n1，即an43n1(nN).3函数思想在等差数列中的妙用性质1：在等差数列an中，通项公式ana1(n1)d，变形为andn(a1d)，知点(n，an)均在直线ydx(a1d)上.例1在等差数列an中，a1221，a45153，那么225是第几项？解由andna1d，知点(n，an)
7、在直线ydxa1d上，所以d，代入数据得，得n63，即225是这个数列中的第63项.性质2：在等差数列an中，其前n项和Snna1d，变形为n，知点均在直线yxa1上.例2在等差数列an中，S1020，S50200，则S2010的值为.解析由SnAn2Bn，知AnB，所以点在直线yAxB上，于是点，三点共线，成立.把S1020，S50200代入上式，解得S2010205020.答案205020性质3：在等差数列an中，其前n项和Snna1d，变形为Snn2n，若设A，Ba1，则SnAn2Bn，且点(n，Sn)均在曲线yAx2Bx上.例3已知等差数列an中，SmSn (mn)，则Smn.解析由S
8、nAn2Bn，知点(n，Sn)在抛物线yAx2Bx上.又SmSn，所以点P1(m，Sm)与点P2(n，Sn)关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程为x，不妨设A0，S120，S130，S130.a13S13S120，a130，d0，S130，122n013，6n06.5.易知n6对应的A(6，S6)与对称轴的距离比n7对应的B(7，S7)与对称轴的距离更小.A点为最高点，S6最大.由上述例子可见，解等差数列问题时，若能灵活运用函数的思想与方法，可以简化运算过程，开拓解题思路，收到事半功倍的效果.4提高运算速度七妙招数列问题的灵活性、技巧性较强，因此，在解数列问题时必须研究技巧与策略，以求做到：选
9、择捷径、合理解题，本文归纳了七种常见策略.第一招活用概念数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往能出奇制胜.例1已知an是公差为2的等差数列，若a1a4a7a97100，那么a2a5a8a98等于()A.166B.66C.34D.100解析若先求出a1，再求和，运算较为繁琐.注意到两个和式中的项数相等，且均是等差数列.由于(a2a5a8a98)(a1a4a7a97)(a2a1)(a5a4)(a8a7)(a98a97)33d66，所以a2a5a8a9810066166，故选A.答案A点评活用等差、等比数列的概念，沟通有关元素间的内在联系，使运算得以简化.第二招巧用性质数列的性质是
10、数列的升华，巧妙运用数列的性质，往往可以使问题简单明了，解题更快捷方便.例2各项均为正数的等比数列an中，若a7a89，则log3a1log3a2log3a14等于()A.12B.14C.10D.10log32解析若设出a1和q，利用基本量法求解，显然运算量较大.若利用性质a1a14a2a13a7a89，则a1a2a14(a7a8)797，所以log3a1log3a2log3a14log39714，故选B.答案B点评数列的性质是对数列内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器.第三招灵用变式在求解数列问题过程中，可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题.例3已知等差数列an中，a33，a
11、10388，则该数列的通项an.解析利用等差数列的变形公式求得公差，再结合等差数列的变形公式求得通项.设等差数列an的公差为d，则d55，ana3(n3)d3(n3)5555n162(nN).答案55n162(nN)点评常规方法是联立方程组，求出首项与公差，再由数列的通项公式求解.而利用变形公式可以回避求解数列的首项，直接求解公差，再结合变形公式求得通项.第四招整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的.例4设Sn表示等差数列an的前n项和，且S918，Sn240，若an430，试求n的值.解常规解法是设出基本量a1，d，列方程组求解，但较烦琐.若能利
12、用整体思维，则可少走弯路，使计算合理又迅速.由S918，即18，则a1a942a5，故a52.又Sn240，所以n15.点评本题解法不在a1，d上做文章，而是将Sn变形整理，用a5an4表示，使解题过程大大简化.第五招数形结合数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题.例5在公差d0的等差数列an中，已知S8S18，则此数列的前多少项的和最大？解用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：通项ax联系一次函数，对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程；前x项和Sx联系二次函数，利用二次函数的对称性及最值.设f(x)Sxxa1dx2x，则(n，Sn)在二次函数的图象上.由于S8S18，d0，所以yf(x)的对称轴是x13，且开口向下，故当x13时，f(x)取得最大值，故数列an的前13项的和最大.点评从直观性角度研究数列问题，可使问题变得生动形象，易于求解.第六招分解重组在处理数列求和问题时，若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n项和进行重新分解，分别求和.例6在数列an中，已知a1，a2，且bn是公差为1的等差数列，bnlog2，cn是公比为的等比数列，cnan1an，求数列an的通项公式an及前n项和Sn.
