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1、1.2.1平面的基本性质与推论学习目标：1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(难点、易错点)自 主 预 习探 新 知1平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图211.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图211. 图2113平面的
2、表示法图211的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.4平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl且Pl基础自测1思考辨析 (1)三点可以确定一个平面( )(2)一条直线和一个点可以确定一个平面( )(3)四边形是平面图形( )(4)两条相交直线可以确定一个平面( )提示 (1) 不共线的三点确定一个平面(2) 点需在直线外(3) 空间四
3、边形不是平面图形 (4)2如图212所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( ) 图212A平面MN B平面NQPC平面D平面MNPQA 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.选A.3如图213所示，下列符号表示错误的是( )图213 合 作 探 究攻 重 难 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化 (1)点P在直线a上，直线a在平面内可记为( )APa，a BPa，aCPa，aDPa，a(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： 解 (1)依题意，Pa，a，选A.(2)点A在平面内，点B不在平面内；直线l在平面内，直线m与平面相交
4、于点A，且点A不在直线l上；直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如图，所示 规律方法 三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”. 提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；(2)平面ABD与平面BD
5、C相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解 (1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示：如图.点、线共面问题 如图214所示，已知直线abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c，l共面. 图214 证明 ab，a，b确定一个平面，laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b，c确定一个平面. 同理可证l. 于是b，l，b，l，即b，l.又b与l不重合，与重合，a，b，c，l共面规律方法 证明点线共面常用的方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.
6、(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面证明 如图所示，由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面点共线与线共点问题探究问题1如图215，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E.能否判断点E在平面A1BCD1内？ 图215提示 如图，连接BD1， A1C平面ABC1D1E，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.2上述问题中，你能证明B
7、，E，D1三点共线吗？提示 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又EBD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线 如图216，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 【导学号：07742090】图216思路探究：欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可解 MNEFQ，Q直线MN，Q直线EF，又M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.M、N平面ABCD，MN平面ABCD.Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.Q平
8、面ADD1A1，又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直线AD，即D，A，Q三点共线规律方法 点共线与线共点的证明方法(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练3如图217所示，四边形ABCD中，已知ABCD，AB，BC，DC，AD(
9、或延长线)分别与平面相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上 图217证明 因为ABCD，所以AB，CD确定平面AC，因为ABE，所以E平面AC，E，由公理3可知，E必在平面AC与平面的交线上同理F，G，H都在平面AC与平面的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上当 堂 达 标固 双 基1下列空间图形画法错误的是( )D 遮挡部分应画成虚线故D错，选D.2下列说法中正确的个数为( )三角形一定是平面图形；若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点只能确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面A1 B2 C3 D4C 圆心和圆上两点若在同一直线上，可确定
10、无数个平面，故不正确；正确，故选C.3“平面与平面有一条公共直线l，且直线m在平面内”用符号语言可表示为_【导学号：07742091】l，且m 平面与平面有一条公共直线l，记作l，直线m在平面内，记作m.4给出下列命题：A，B，C三点确定一个平面；若直线a直线bA，则直线a与b能够确定一个平面；已知平面，直线l和点A，B，若Al，Bl，且A，B，则l.其中正确命题的序号是_. 中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此错误；中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此正确；中，由于点A，B既在直线l上又在平面内，即直线l上的两点在平面内，所以直线l在平面内，即l，因此正确综上，可知正确命题的序号是.5如图218所示，ABCD，ABB，CDD，ACE.求证：B，E，D三点共线图218证明 因为ABCD，所以AB，CD共面，设为平面，所以AC在平面内，即E在平面内而ABB，CDD，ACE，可知B，D，E为平面与平面的公共点，根据公理3可得，B，D，E三点共线
