《2018-2019学年人教b版 必修2 1.2.3空间中的垂直关系 教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年人教b版 必修2 1.2.3空间中的垂直关系 教案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.3空间中的垂直关系 学习目标：1.了解直线与平面垂直的定义(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题(易错点)自 主 预 习探 新 知1直线与平面垂直定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考1：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示 定义中的“任意一条直线”与
2、“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直2直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言思考2：线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的3直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面相交，但不和平面垂直，图中直线PA垂足斜线和平面的交点，图中点A射影
3、过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0的角取值范围0，90思考3：若直线l与平面所成的角是0角，则必然有l吗？提示 不一定若直线l与平面所成的角是0角，则l或l.基础自测1思考辨析(1)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )(2)若ab，a，l，则lb( )(3)若ab，b，则a( )提示 (1) l，则l与平面内的直线不可能平
4、行(2) (3) 若ab，b，则a或a.2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A平行 B垂直C相交不垂直D不确定B 因为直线垂直于三角形所在平面内的两条相交直线，所以由直线与平面垂直的判定定理知，直线垂直于平面，所以直线与第三边垂直3矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_30如图所示，PA平面ABCD，AC为PC在平面ABCD上的射影PCA为PC与平面ABCD所成的角 tanPCA，PCA30.合 作 探 究攻 重 难线面垂直的定义及判定定理的理解 (1)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，
5、那么下面给出的条件中，一定能推出m的是( ) A，且m Bmn，且nCmn，且nDmn，且n(2)直线a直线b，b平面，则a与的关系是( )AaBaCaDa或a(3)下列说法中，正确的有( )如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内A2个B3个C4个D5个(1)B (2)D (3)C (1)A项，且m，则m，故A不正确；B项，n，则n垂直内的任意一条直线，又mn.可
6、知m也垂直于平面内的任意一条直线，所以m，故正确；C项，D项，由mn，n或mn，n，可得m与的关系可以是m，或m或m与相交，故不正确；选B.(2)由ab，b，则a或a.选D.(3)由线面垂直的判定定理知，错误；正确；正确；正确；正确；故选C.规律方法 1理解线面垂直的定义需要注意的两点(1)直线和平面垂直的定义具有双重作用：判定和性质判定是指，如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么直线就与平面垂直；性质是指，如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线，即a，bab.(2)“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者可以使直
7、线与平面斜交2理解线面垂直判定定理要注意的两个问题(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的跟踪训练1下列说法中，正确的是 ( )A若直线l与平面内无数条直线垂直，则lB若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C若ab，a，l，则lbD若ab，b，则aC 当l与内的任何一条直线都垂直时，l，故A错；当l时，l与内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在内，所以D错误线面垂直
8、判定定理的应用 如图231，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.图231(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC. 思路探究：三棱锥的三条侧棱相等，ABBC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用证明 (1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点
9、，所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDACD，所以BD平面SAC. 规律方法 证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：(1)定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；(2)判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论) ab，ab；，aa.跟踪训练2如图232，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中点，求证：EF平面BB1O.图232证明 ABCD为正方形，AC
10、BO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.直线与平面所成的角探究问题1若图233中的POA是斜线PO与平面所成的角，则需具备哪些条件？ 图233提示 需要PA，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样POA就是斜线PO与平面所成的角2空间几何体中，确定线面角的关键是什么？提示 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定3怎样求出线面角的大小？提示 确定线面角后，将线面角放在三角形中求解 如图234所示，已知AB为圆O的直径，且AB4，
11、点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB.(1)求证：CD平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角 图234解 (1)证明：连接CO，由3ADDB知，点D为AO的中点 又因为AB为圆O的直径，所以ACCB.由ACBC知，CAB60，所以ACO为等边三角形故CDAO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD平面ABC，又CD平面ABC，所以PDCD，由PD平面PAB，AO平面PAB，且PDAOD，得CD平面PAB.(2)由(1)知CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又AOC是边长为2的正三角形，所以CD.在R
12、tPCD中，PDDB3，CD，所以tanCPD，CPD30，即直线PC与平面PAB所成的角为30.母题探究：若将本例改为：已知AB为圆O的直径，且AB4，PA圆O所在平面，点C为圆O上一点，且BCAC，PAAB.(1)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 图235解 过C作CHAB于点H，连接PH.PA平面圆O，CH平面圆O， PACH(线面垂直的定义)又CHAB，PAABA，CH平面PAB，CPH为直线PC与平面PAB所成的角，AB为圆O直径，ACBC.在RtACB中，AB4，BCAC.AC2，BC2，CH，又PAAB4，在RtPAC中，PC2.在RtPHC中，sinCPH.(2)求直线P
13、B与平面PAC所成角的正切值解 由上题知，BCAC；又PA平面圆O，PABC.又APACA，BC平面PAC.BPC为直线PB与平面PAC所成的角在RtPCB中，BC2，PC2，tanBPC.(3)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值解 过A作ADPC于点D，BC平面PAC，BCAD.又PCBCC，AD平面PBC.APD为直线PA与平面PBC所成的角在RtPAC中，PA4，AC2，PC2，AD，在RtPDA中，sinAPD5.规律方法 求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或)找出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算当 堂 达 标固 双 基1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A垂直 B相交但不垂直
