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1、2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学习目标：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)2.掌握倾斜角与斜率的对应关系(难点、易错点)3.掌握过两点的直线的斜率公式(重点)自 主 预 习探 新 知1倾斜角的相关概念定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0记法图示范围0180作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可2斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角(90)的正切(2)记法：
2、ktan_.(3)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)00909090180斜率(范围)0(0，)不存在(，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式：k.思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？提示 不是若直线没斜率，则其倾斜角为90. 基础自测1思考辨析(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( )(2)倾斜角为135的直线的斜率为1.( )(3)若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan .( )(4)直线斜率的取值范围是(，)( )提示 (1) 倾斜角为90时，斜率不存在(2) 斜率应为1.(3) 斜率有可能不存在
3、(4) 2如图311，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( ) 图311Ak1k2k 3Bk 3k 1k 2Ck 3k 2k 1 Dk 1k 3k 2D 由图可知，k10，k2k30.故选D.3一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于_45 ktan 1.45.合 作 探 究攻 重 难直线的倾斜角 (1)下列说法中，正确的是( )A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则tan 0D任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率(2)已知直线l1的倾斜角115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为
4、120，如图312，则直线l2的倾斜角为_ 图312(1)D (2)135 (1)当90时，直线的斜率不存在，故A错；直线斜率为tan ，但只有0，180)时才是直线的倾斜角，故B错；0时，tan 0，故C错；D对；故选D.(2)如图，由题意知，3120，2120.1180120145，218045135.规律方法 求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论提醒：理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角跟踪训练1已知直线l经过第二
5、、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A090 B90180C90180D0180C 直线倾斜角的取值范围是0180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.直线的斜率 (1)已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB4，则点B的坐标为( )A(2,0)或(0，4)B(2,0)或(0，8)C(2,0)D(0，8)(2)已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( ) 【导学号：07742193】A(1,0B0,1C1,2D0,2(1)B (2)D (1)设B(x,0)或(0，y)，kAB或kAB，4或4，x2，y
6、8，点B的坐标为(2,0)或(0，8)(2)由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0k2.故选D.规律方法 解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解跟踪训练2已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解 如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的
7、取值范围是k1或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.直线斜率的应用探究问题1斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？提示 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k.2你能证明A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？提示 能因为A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)，所以kAB2，kBC2，所以kABkBC，且直线AB，BC有公共点B，所以A，B，C这三点在同一条直线上
8、(1)若点A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)三点共线，则a的值为_(2)已知直线l过P(2，1)，且与以A(4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围思路探究：(1)三点共线，则kABkAC；(2)画出图形，数形结合找出斜率的临界值(1)4 由斜率公式得kAB2，因为A，B，C三点共线，所以kABkAC，所以2，解得a4.(2)根据题中的条件可画出图形，如图所示，可得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB.结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90，故斜率的取值范围为.当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90
9、增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.母题探究：1.若将本例(1)中点A(1,1)的坐标改为“(1,4)”，其他条件不变，则a的值应为多少？解 由斜率公式得kAB，因为A，B，C三点共线，所以kABkAC，所以，解得a7.故a的值为7.2若将本例(1)中点C的坐标改为“C(4,7)”，试证明三点A，B，C在同一条直线上解 因为A(1,1)，B(3,5)，C(4,7)，由斜率公式得kAB2，kAC2，所以kABkAC，因为直线AB与直线AC的斜率相等且过同一点A，所以直线AB与直线AC为同一条直线，故三点A，B，C在同一条直线上3若将本例(2)中点A(4,2
10、)改为“A(4，2)，求直线l斜率的取值范围解 如图所示，kPA，kPB，直线l要与线段AB有交点，则直线l应界于直线PA、PB之间，故kPAklkPB，直线l斜率的取值范围是.规律方法 斜率公式的应用(1)证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).(2)求代数式的最值或范围：由斜率公式k的形式，可知的几何意义是过P(x，y)与P(a，b)两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.当 堂 达 标固 双 基1斜率不存在的直线一定是( )A过原点的直线B垂直于x轴的直线C垂直于y轴的直线D垂直于过原点的直线B 斜率不存在的直线其倾斜角为90，故垂直于x轴，选B.2若0，则经过P1(0，cos )，P2(sin ，0)两点的直线的倾斜角为( ) A BCDC 设直线的倾斜角为，则tan tan因为0，0，又0，)，.选C.3已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )A5 B8 C D7C 依题意1，m，选C.4已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1,0)，B(2，a)，C(a,1)，则实数a的值是_ 依题意：kABkAC，即，解得a.5直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围 解 如图所示kAP1，kBP，k(，1，)，45120.
