《2018-2019学年人教b版 必修2 2.2.1直线方程的概念与直线的斜率 学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018-2019学年人教b版 必修2 2.2.1直线方程的概念与直线的斜率 学案(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学习目标:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)2.掌握倾斜角与斜率的对应关系(难点、易错点)3.掌握过两点的直线的斜率公式(重点)自 主 预 习探 新 知1倾斜角的相关概念定义当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0记法图示范围0180作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可2斜率的概念及斜率公式(1)定义:倾斜角(90)的正切(2)记法:
2、ktan_.(3)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)00909090180斜率(范围)0(0,)不存在(,0)(4)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k.思考:所有直线都有斜率吗?若直线没有斜率,那么这条直线的倾斜角为多少?提示 不是若直线没斜率,则其倾斜角为90. 基础自测1思考辨析(1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率( )(2)倾斜角为135的直线的斜率为1.( )(3)若一条直线的倾斜角为,则它的斜率为ktan .( )(4)直线斜率的取值范围是(,)( )提示 (1) 倾斜角为90时,斜率不存在(2) 斜率应为1.(3) 斜率有可能不存在
3、(4) 2如图311,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( ) 图311Ak1k2k 3Bk 3k 1k 2Ck 3k 2k 1 Dk 1k 3k 2D 由图可知,k10,k2k30.故选D.3一条直线的斜率等于1,则此直线的倾斜角等于_45 ktan 1.45.合 作 探 究攻 重 难直线的倾斜角 (1)下列说法中,正确的是( )A直线的倾斜角为,则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ,则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为,则tan 0D任意直线都有倾斜角,但它不一定有斜率(2)已知直线l1的倾斜角115,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为
4、120,如图312,则直线l2的倾斜角为_ 图312(1)D (2)135 (1)当90时,直线的斜率不存在,故A错;直线斜率为tan ,但只有0,180)时才是直线的倾斜角,故B错;0时,tan 0,故C错;D对;故选D.(2)如图,由题意知,3120,2120.1180120145,218045135.规律方法 求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜角(2)关注点:结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角形内角和定理及其有关推论提醒:理解倾斜角的概念时,要注意三个条件:x轴正向;直线向上的方向;小于180的非负角跟踪训练1已知直线l经过第二
5、、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A090 B90180C90180D0180C 直线倾斜角的取值范围是0180,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.直线的斜率 (1)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB4,则点B的坐标为( )A(2,0)或(0,4)B(2,0)或(0,8)C(2,0)D(0,8)(2)已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是( ) 【导学号:07742193】A(1,0B0,1C1,2D0,2(1)B (2)D (1)设B(x,0)或(0,y),kAB或kAB,4或4,x2,y
6、8,点B的坐标为(2,0)或(0,8)(2)由图,可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时,满足题意,所以直线l的斜率满足0k2.故选D.规律方法 解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解跟踪训练2已知两点A(3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)求直线l的倾斜角的取值范围解 如图所示,由题意可知kPA1,kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的
7、取值范围是k1或k1.(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45,PA的倾斜角是135,所以的取值范围是45135.直线斜率的应用探究问题1斜率公式k中,分子与分母的顺序是否可以互换?y1与y2,x1与x2的顺序呢?提示 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换,但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序,即斜率公式也可写为k.2你能证明A(3,5),B(1,3),C(5,11)三点在同一条直线上吗?提示 能因为A(3,5),B(1,3),C(5,11),所以kAB2,kBC2,所以kABkBC,且直线AB,BC有公共点B,所以A,B,C这三点在同一条直线上
8、(1)若点A(1,1),B(3,5),C(a,7)三点共线,则a的值为_(2)已知直线l过P(2,1),且与以A(4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围思路探究:(1)三点共线,则kABkAC;(2)画出图形,数形结合找出斜率的临界值(1)4 由斜率公式得kAB2,因为A,B,C三点共线,所以kABkAC,所以2,解得a4.(2)根据题中的条件可画出图形,如图所示,可得直线PA的斜率kPA,直线PB的斜率kPB.结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90,故斜率的取值范围为.当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90
9、增大到PA的倾斜角,故斜率的变化范围是.综上可知,直线l的斜率的取值范围是.母题探究:1.若将本例(1)中点A(1,1)的坐标改为“(1,4)”,其他条件不变,则a的值应为多少?解 由斜率公式得kAB,因为A,B,C三点共线,所以kABkAC,所以,解得a7.故a的值为7.2若将本例(1)中点C的坐标改为“C(4,7)”,试证明三点A,B,C在同一条直线上解 因为A(1,1),B(3,5),C(4,7),由斜率公式得kAB2,kAC2,所以kABkAC,因为直线AB与直线AC的斜率相等且过同一点A,所以直线AB与直线AC为同一条直线,故三点A,B,C在同一条直线上3若将本例(2)中点A(4,2
10、)改为“A(4,2),求直线l斜率的取值范围解 如图所示,kPA,kPB,直线l要与线段AB有交点,则直线l应界于直线PA、PB之间,故kPAklkPB,直线l斜率的取值范围是.规律方法 斜率公式的应用(1)证明三点共线:只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).(2)求代数式的最值或范围:由斜率公式k的形式,可知的几何意义是过P(x,y)与P(a,b)两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.当 堂 达 标固 双 基1斜率不存在的直线一定是( )A过原点的直线B垂直于x轴的直线C垂直于y轴的直线D垂直于过原点的直线B 斜率不存在的直线其倾斜角为90,故垂直于x轴,选B.2若0,则经过P1(0,cos ),P2(sin ,0)两点的直线的倾斜角为( ) A BCDC 设直线的倾斜角为,则tan tan因为0,0,又0,),.选C.3已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是( )A5 B8 C D7C 依题意1,m,选C.4已知直线AB与直线AC有相同的斜率,且A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数a的值是_ 依题意:kABkAC,即,解得a.5直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,求直线l的斜率和倾斜角的取值范围 解 如图所示kAP1,kBP,k(,1,),45120.