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1、,第 十 二 讲 . 算符的对易性 一般而言，两算符的乘积和次序有关，不 能彼此对易。 若 , ，,则算符 引入对易子： 和 的对易子 对易子有如下性质,并有 在算符的运算时，要特别小心 。 已证明 所以,下面是一些有用的对易关系 称为Levi-Civita符号。取值 ， 为从123ijk的对换数。如123312的对换数2, 对易关系是与坐标选择无关 对易关系与表象选择无关,. 算符的厄密性（Hermiticity） （1） 算符复共轭：若对波函数（任意）有 则称 为 的复共轭算符，以 表示,（2）算符的转置 A. 标积定义：若体系有两个波函数，其 标积为 对于标积，有性质 , 则称这两波函数
2、正交 。 B. 转置定义：算符 称为算符 的转置算符,通常以 算符表示算符 的转置算符。即 (3) 算符的厄密共轭 定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以 表示），,(4) 厄密算符: 若算符的厄密共轭就是它自身， 则称该算符为厄密算符。 (5) 厄密算符的性质 A. 厄密算符相加、减仍是厄密算符；但 厄密算符之积并不一定为厄密算符。,B. 任何状态下，厄密算符的平均值必为实数 C. 在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。 易证：若 是厄密算符，则 。,. 厄密算符的本征值和本征函数 (1) 算符的本征方程 对有一定几率分布（围绕最大几率测量值） 的状态，进行一次测量，其
3、偏差大小可由一“涨 落”来定义，即由方均根来定义。 要使“涨落”为零，即测量值只取确定值 ，则,令 这一特殊状态为 我们称上述方程为算符的本征方程。 显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态 时，测量值即为本征值（这时“涨落”为0）。 量子力学又一个基本假设：在量子力学 中，力学量对应于一个线性厄密算符；当对体,系进行该力学量的测量时，一切可能测得值，只 能是算符 的本征方程的本征值。 例1：求轨道角动量在z方向分量的本征值和 本征函数。 有解,从 是厄密算符得不出上述结论。 例2 求绕固定轴转子的能量本征值和本征 函数。,固定转子的能量本征值和本征函数为,（2）力学量算符的本征值和本征函数性质
4、 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征 值）； B. 相应不同本征值的本征函数是正交的 证：,取复共轭，则有,由于 是厄密算符，所以 ，即 正交。 这就使波函数对某力学量的本征函数展开时，是 唯一的 。 C.Schmit正交化方法 如果一个本征值An对应S个线性无关的本征 函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通,过Schmit正交化方法来实现正交归一化 。 取 使 ； 取 ， 显然，保证 ，且 。 同样有 这必然有 ，且,D. 任何一个算符总可表示为两个厄密算符之和； 其中 (3) 测量结果的几率 现来计算测量力学量 取值 的几率。 根据态叠加原理，如能测得 ，则体系所处的态必为,所以
5、 表达式表明，在 中测量力学量 取值 的几率为 。 所以，要在一体系中（以 描述），测量 力学量 ，取值 的几率振幅为,(4) 直接可观测的力学量的本征函数构成 一完备组。 如 是力学量 的本征函数组，则任 一波函数可以以 表示 根据态叠加原理，体系处于态 中，那进,行力学量 的测量。如测量值为 ， 则体系只可能处于这些本征值所相应的本征函数 的线性叠加态上。即 4.3 连续谱本征函数“归一化” （1）连续谱本征函数“归一化” A. 本征函数，本征谱 （取分立值） （取连续值）,B. 任一波函数可按其展开 （ 已归一化） （ 已归一化） C.,所以， 是一“奇异函数”。 我们引入一个奇异函数，
6、即 ，其定义,，以及 因此，如 ，则,这就保证获得我们所需结果 。 所以，连续谱归一化的本征函数 应使其 有 例1：求“正交归一”的动量本征函数 设： 是平方可积，即可进行Fourier展开,于是应有 所以，“正交归一”的动量本征函数为,事实上，由于物理波函数在无穷远为0,于是有 例2，求“正交归一”的坐标本征函数（自做） 由本征方程,的 “正交归一”的坐标本征函数为 它是完备的： D. 表示在态 中测量力学量 的几率。因 而由,由这可见（如 已归一化）， 为测量 取值在区域 中的几率。 (2) 函数 A. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而是一 分布。但习惯上仍将它看作一函数。,
7、其重要性和意义在积分中体现出来； 它可用一函数的极限来定义。 ab,现看不定积分,写得更为明确一些 （对任意a）,显然 下面给出另一些表示式（作为函数参量极限）,c,B. 函数的性质 下面给出函数的性质，是表示当它们 在积分中出现时，左边表示可被右边表示代 替。 推论：如有方程AB，则,例 所以 ， 由于 对于 a,b 都大于零或都小于零，两式相等； 但a0, b0 ,则两式不等，从而 可定出 c ，即,若 ，但 ，即不是重根。,例 于是有推论,但是由,这一矛盾或错误的来源是 ， 是有条件的 。 为清楚看到这一点，取,所以，,这表明，无条件地由 是不对的 。仅当 才成立。 C. 函数的导数 函
8、数具有任何级的导数，可以证明,假设,假设,例：求 之解. 因 , 所以特解是 而相应齐次方程是 有解 。 从而得通解 事实上,应特别注意 ，但 （3）本征函数的封闭性 已经讨论过厄密算符本征态的正交，归一和完备性，即 （正交，归一）,（完备） 对于连续谱 下面我们来讨论本征函数的封闭性,所以 由此可见， 上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明 本征函数组可构成一函数 。 例1 的本征函数,有 ，即 人们熟习的形式： 例2 的本征函数,A. 封闭性是正交、归一的本征函数完备性的充分必要条件。 若 是完备的 封闭性（必要条件） 有封闭性 完备的（充分条件）,1必要条件已证过 2充分条件： 有封闭性: , 则,任一波函数可按 展开，所以， 是完备的。 B本征函数的封闭性也可看作 函数 按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复 共轭。,4.4 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落” 两算符，在一个态中，一般都有涨落， ， 不同时为零。 在什么条件下， ， 有共同本征函数组。 (1) 算符“涨落”之间的关系 A. Schwartz不等式,
