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1、冯 西 桥 清华大学工程力学系 2006.11.02,第五章 本构关系 Constitutive Relation,目 录,Chapter 5,引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性,Difference between solids and fluids. Mechanics of Solids, The New Encyclopedia of Britannica, 15th edition, Vol. 23, pp. 734-747, 2002. “A material is called solid rather than fluid if it can al
2、so support a substantial shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest.” J. R. Rice,3,Chapter 2.1,弹性的定义,引 言,Chapter 5,应力张量 s 应力平衡方程： 位移矢量 u 应变张量 e 几何方程： （应变协调方程： ）,本构关系 材料的变形与所受应力之间的关系； 是材料本身所固有的性质； 本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。,引 言,Chapter 5,目 录,Chapter
3、 5,引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性,Chapter 5.1,由实验可知当加载到A点后卸载，加载与卸载路径并不完全重合，亦即应力与应变之间不是单值对应的关系。OBACO称为滞后回线。其所包含的面积称为滞后面积。,弹性的定义,Chapter 5.1,对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，滞后回线非常窄小，可以认为加载与卸载是重合的。因此应力与应变间可看作是单值对应关系。,弹性的定义,弹性本构关系：,其中,4,Chapter 2.1,弹性的定义,弹性本构关系： 应力与应变率无关，也不依赖于变形历史； 没有迟滞效应。 小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形弹性本构关
4、系 均匀材料的小变形线弹性本构关系,6,Chapter 2.1,弹性的定义,Chapter 5.1,各向同性弹性体 假设物体是均匀、连续、各向同性的，应力和应变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之间的关系与坐标的位置和方向无关。 下面所研究的物体仅限于完全弹性体，即当物体除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应变间成单值的线性关系。,弹性的定义,两个假设 弹性体的响应仅依赖于当前的状态； 弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。,7,Chapter 2.1,超弹性（Green）,弹性的定义,线弹性:,广义胡克定律:,8,Chapter 2.1,超弹性（Green）,弹性的定义,14
5、,Chapter 2.2,晶体,弹性的定义,15,Chapter 2.2,silicon,晶体,弹性的定义,16,Chapter 2.2,晶体,三斜 单斜 正交 三角 四方 六方 立方,弹性的定义,17,Chapter 2.2,长链高分子,弹性的定义,本构关系,Chapter 5,弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性,广义胡克定律,Chapter 5.1,单向应力状态时的胡克定律是 式中 E 称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，E 是常数。,杨氏模量,广义胡克定律,Chapter 5.1,在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短 和纵向
6、相对伸长 成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：,其中 是弹性常数，称为泊松比。,泊松比,广义胡克定律,Chapter 5.1,先考虑在各正应力作用下沿 x 轴的相对伸长，它由三部分组成，即,线弹性叠加原理,广义胡克定律,Chapter 5.1,其中 是由于x的作用所产生的相对伸长,是由于y的作用所产生的相对缩短,是由于z的作用所产生的相对缩短,广义胡克定律,Chapter 5.1,将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下在x轴方向的应变,同理可得到在y轴和z轴方向的应变,广义胡克定律,Chapter 5.1,根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，而不引起 xz、yz，于是
7、可得,同理,广义胡克定律,Chapter 5.1,于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：,广义胡克定律,Chapter 5.1,杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为,将弹性本构关系写成指标形式为,广义胡克定律,Chapter 5.1,广义胡克定律,Chapter 5.1,如用应变第一不变量代替三个正应变之和，用应力第一不变量 表示三个正应力之和，则,其中 称为体积模量。,广义胡克定律,Chapter 5.1,令,则,广义胡克定律,Chapter 5.1,弹性关系的常规形式为,其中 G 和 称为拉梅常数。,广义胡克定律,Chapter 5.1,将应力和应变张量分解成球量和偏量，得,由于偏量和
8、球量相互独立 ，所以有,广义胡克定律,Chapter 5.1,第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化),第二式说明弹性体的形状畸变 是由应力偏量 引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状变化),广义胡克定律,常用的三套弹性常数,Chapter 5.1,广义胡克定律,Chapter 5.1,对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和 ；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)，所以,广义胡克定律,Chapter 5.1,故要上式成立必要求：
9、,即,广义胡克定律,Chapter 5.1,若设0.5，则体积模量K，称为不可压缩材料，相应的剪切模量为,对实际工程材料的测定值，一般都在 的范围内。,本构关系,Chapter 5.2,引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性,广义胡克定律,各向同性本构关系,Chapter 5.2,对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，它们是互不耦合的。,广义胡克定律,各向异性本构关系,Chapter 5.2,对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。 广义胡克定律的一般形式是：,C 是四阶刚度（弹性）张量
10、。,D 是四阶柔度张量。,广义胡克定律,确定线弹性材料常数的历史过程,Chapter 5.1,广义胡克定律,Chapter 5.1,由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称弹性张量，共有81个分量。 弹性张量的Voigt对称性,广义胡克定律,Chapter 5.1,下节中将证明,广义胡克定律,Chapter 5.1,独立的弹性常数由81个降为36个,广义胡克定律,Chapter 5.1,其中 即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的cmn (m, n16) 并不是张量。
11、 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性材料，独立的弹性常数共有21个。,广义胡克定律,Chapter 5.1,(1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面 21,例： 三斜晶体,广义胡克定律,Chapter 5.1,(2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13,例：单斜晶体(正长石和云母等) e1,e2平面为弹性对称面,广义胡克定律,Chapter 5.1,(3) 正交各向异性线弹性体 ： 9,广义胡克定律,Chapter 5.1,(4) 横观各向同性线弹性体 ： 5,例：六方晶体,广义胡克定律,Chapter 5.1,(5) 各向同性线弹性体 ： 2,金属（随机排列晶
12、体）、短纤维增强复合材料 颗粒增强复合材料,16,Chapter 2.2,晶体,三斜（21） 单斜（13） 正交（9） 三角（9） 四方（7） 六方（5） 立方（3）,弹性的定义,广义胡克定律,Chapter 5.1,小结,本构关系,Chapter 5,引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性,应变能和应变余能,Chapter 5.2,应变能 如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将全部转化为变形位能而储存在弹性体内。 弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，卸载后物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部释放出来。,应变
13、能和应变余能,Chapter 5.2,应变能和应变余能,Chapter 5.2,非线性的应力应变关系,应变能和应变余能,Chapter 5.2,正应力 11 仅在正应变 11 上做功，其值为： 其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量 ij 上做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得,应变能和应变余能,Chapter 5.2,引进应变能密度函数W(ij)，使,即,则,其中，W(0)和W(ij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。一般取变形前的初始状态为参考状态，令W(0)0。,格林(Green,G.)公式,应变能和应变余能,Chapter 5.2,应变能密度等于单位体积的外力功。
14、应变能密度只与物体的初始状态和最终变形状态有关，而变形历史无关，即是一个状态函数。 应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当W(ij)的具体形式给定后，应力应变关系也惟一确定。,应变能和应变余能,Chapter 5.2,广义格林公式,应变能和应变余能,Chapter 5.2,线弹性情况 在无应变自然状态(ij=0)附近把应变能函数W(ij)对应变分量展开成幂级数：,其中,应变能和应变余能,Chapter 5.2,它是应变分量ij的二次齐次式，有： 由此证明弹性张量 C 对双指标 ij 和 kl 具有对称性。,应变能和应变余能,Chapter 5.2,应变能和应变余能,Chapter 5.2
15、,对于各向同性材料，有,对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表达式中的高阶项。,应变能和应变余能,Chapter 5.2,应变余能 仿照应变能的定义式，可以定义应变余能Wc 它具有如下类似性质：,应变能和应变余能,Chapter 5.2,对上式分部积分得：,应变能和应变余能,Chapter 5.2,应变能和应变余能,Chapter 5.2,对于线弹性材料，应变余能为,应变余能的值和应变能的值相等。,应变能和应变余能,Chapter 5.2,注 应变余能并不储存在弹性体内。例如：设在弹性悬臂梁的自由端突然加一块砝码。当梁通过其静态平衡位置时，砝码所做的功为全功，其中只有一半转化为储存在梁内的应变能；另一半应变余能则表现为动能，它导致梁砝码系统在其平衡状态附近的自由振动，并通过与空气的摩擦逐渐转化为热能耗散于空气之中。,本构关系,Chapter 5,广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性,热力学第一定律 其中dT和dE分别是动能增量和内能增量，dA是外力对系统所做的功， dQ是系统从外界吸收的热量。 热力学第二定律 其中 为温度，S为熵。,应变能的正定性,Chapter 5.3,应变能的正定性,Chapter 5.3,代入,这是自然界中一切热力学过程都必须满
