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1、哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目：求复变函数的积分方法院（系）理学院专 业数学与应用数学年 级2009级姓 名闫岩学 号09031123指导教师徐亚兰职 称副教授2013年6月1日哈尔滨学院本科毕业论文（设计）目 录摘 要1Abstract2前 言3第一章 复积分的概念及其简单性质41.1 复变函数积分的定义41.2 复变函数积分的基本性质5第二章 复积分的计算72.1 函数沿非闭曲线的积分的计算72.1.1定义法72.1.2参数方程法82.2 函数沿闭曲线的积分的计算112.2.1积分定理112.2.2挖奇点法132.2.3柯西积分公式152.2.4高阶导数公式15第三章 用留数定理计算复
2、积分173.1 留数定理及其应用173.1.1留数的定义173.1.2留数定理173.2 留数定理与其它解法的联系18参考文献20致 谢21 摘 要复积分即指复变函数积分。在复变函数的分析理论中，复变函数的积分是研究解析函数的重要工具。复变函数里的积分不仅仅是研究解析函数的重要工具，它也是学习后继课程积分变换的基础,因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分必要的。柯西积分公式、高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的作用。本文介绍了计算复积分的几种方法，同时讨论了留数定理与复积分之间的内在联系，并且总结出利用柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等来计算复变函数积分的基本
3、方法，通过实例说明每种方法使用的范围，从中揭示出他们的内在联系，本文对复积分的计算方法进行了比较系统的归纳总结，从中概括出解题方法和技巧。关键词： 复变函数的积分；柯西积分定理；高阶导数公式；留数定理21哈尔滨学院本科毕业论文（设计）Abstract Complex integration refers Complex integration. In the analysis of complex function theory, complex function of integral analytic functions is an important tool for research.
4、 Complex functions in the integral study of analytic functions not only an important tool, it is also the successor program to learn the basis of integral transformation, and therefore complex integral calculation method are summarized and discussed is very necessary. Cauchys integral formula, highe
5、r derivative formulas, and the residue theorem for complex integrals play a big role.This article describes several methods for calculating complex integration, also discussed the residue theorem and the intrinsic link between complex integration, and summed up using the Cauchy integral theorem, Cau
6、chys integral formula, higher derivative formula, residue theorem etc. Complex integration calculation of the basic method, by examples illustrate the scope of use of each method, which reveals their internal relations, the paper complex integral calculation methods were compared systems are summari
7、zed, which summarize the problem-solving methods and techniques .Key words: complex variable function integration; Cauchys integral theorem; higher derivative formula; residue theorem 前 言复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数中许多重要的性质都要利用复积分来证明。比如，想要证明“解析函数导函数连续性”以及“解析函数各阶导数存在性”这些表面上看起来只跟微分学有关的命题，一般都要使用复积分。其中柯西积
8、分公式和柯西积分定理显得尤其重要，他们是复变函数论的基本定理和基本公式。复变函数论是数学中的一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。复变函数论的历史悠久，内容丰富，理论也十分完美。它在数学中的许多分支、力学以及工程技术科学中有着相对广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。本文对不同类型的复变函数积分的计算方法进行了系统的归纳和总结，并且总结出了求解复积分的一些方法和技巧，这样在遇到求解复积分问题时，我们可以先分析积分的特点，再根据特点来选择合适的方法，如果方法得当，便可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。 第一章 复积分的概念及其简单性质1.1 复变函数积分的定义定义1 设有向曲线C
9、：，以为起点，为终点，沿着曲线C有定义。顺着C从a到b的方向在C上取分点：把曲线C分成了若干个弧段。在从到的每一弧段上任意取一点，做成和数，其中。当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，假如和数的极限存在并且等于J，就称沿曲线C（从a到b）可积，而称J是沿C（从a到b）的积分，并且用记号表示：。C叫做积分路径。表示沿曲线C正方向的积分，表示沿曲线C负方向的积分。定理1 如果函数并且沿着曲线C连续，则沿C可积，并且例1 如果C表示连接点a及b的任一曲线，试证：（1） （2）证明（1） 因为所以即（2） 因为，令于是就有，但我们又可以令，则可得到，再由定理1可知积分存在，因此的极限存在，并
10、且应该跟和的极限相等，从而应该跟的极限相等。令所以。1.2 复变函数积分的基本性质设函数沿曲线C连续，则有以下的性质（1）（2）（3）（4）（5）在这里表示弧长的微分，也就是定理2（积分估值） 如果沿着曲线C，函数连续，并且有正数M使得，L是曲线C的长，则例2 试计算，其中C是从0到2+i的直线段。解 由题直线C可以由关系式，表达，于是所求积分得第二章 复积分的计算2.1 函数沿非闭曲线的积分的计算2.1.1定义法定义 设是复平面上以为起点，以为终点的光滑曲线（是有连续的导数），在上取一系列的分点把分成段，在每一小段上任意取一点做和数,当时，并且每一小段的长度趋于零时，如果存在，我们就称沿是可
11、积的，叫做沿的路径积分。是积分路径，记做【如果是围线（闭的曲线），则记为】。（在上取值，也就是在上变化）。例1 计算积分 1)；2)，其中积分路径表示连接点及点的任一曲线。解 对进行分割，并且近似求和，以下符号与上述的复积分的定义一致。 （1）当是闭曲线的时候，。由于，所以即 （2）当是闭曲线的时候，。，沿曲线连续，则积分存在，令，则，又可以令，则，由于的极限是存在的，并且应该和及极限相等，所以，所以 2.1.2参数方程法在简单光滑的曲线上连续,想要计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程， (通常遇到的是圆弧或者直线段) ；第二步:求出,把代入到其中；第三步:把积分化成关于的定积分，并
12、且计算该定积分。，于是，所以复变函数的积分可以归纳总结成为两个实变函数的线积分，并且它们分别是复变函数积分的实部和虚部.复变函数积分的参数表示设曲线的参数方程是，或者表示成，记 ，于是，则.y=xy=x 图（2-1-2a） 图（2-1-2b）例2 试计算，其中,是：（1） 从原点到点上的直线段；（2） 抛物线上从原点到点的弧段；（3） 从原点沿轴到点1再到上的折线；解 （1）积分路径的参数方程是则如图（2-1-2a）所示。（2）积分路径的参数方程是y=x如图（2-1-2b）所示。 图（2-1-2c） 图（2-1-2d）（3）如图（2-1-2c）所示. 积分路径是由两段直线构成的，轴上直线段的参
13、数方程是1到1+直线段的参数方程是例3 试证，是以为圆心，以为半径的圆周。如图（2-1-2d）所示。证明 的参数方程是 在上，。当的时候，当的时候，.复变函数积分的简单性质（以下性质i、ii、iii、iv都可以从积分的定义式中直接得出）i.，、分别是的终、起点。，是的长度，是的长度。.，、是复常数。（可推广）., 其中、连接成。（可推广）., 表示跟方向相反的同一条曲线。不等式（估值公式）a) 证明。（此处运用了的推广，,多边形任意一边的长其他边长之和）b) 如果是上沿曲线的最大值，是的长度，则 。证明：两边取极限，即或者 .2.2 函数沿闭曲线的积分的计算2.2.1积分定理柯西定理 如果在单连通区域上解析，是内的任意一条围线，则 其实只要在所围的单连通区域内解析，则。如图（2-2-2）所示。 图(2-2-2)注 单连通区域内的任意一条闭曲线可以连续收缩成一点，简言之区域内没洞。复连通区域内至少有一条闭曲线不能连续收缩成为一点，简言之区域内有洞。证明 因为在上是解析的， 也就是在上的各点均存在。为了简化证明，我们进一步要求在上连续,、在上连续。，因为在上是连续的，所以、有连续的偏导数，并且满足CR条件， ,而根据实的线积分
