《教案《函数基本性质题型讲解》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教案《函数基本性质题型讲解》（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的基本性质1.增函数与减函数 定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值（1）若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；（2）若当时，都有,则说在这个区间上是减函数.注意区间可以使定义域也可以是定义域的某个区间；的任意性；增函数随的增大而增大，呈上升趋势；减函数随的减小而减小，呈下降趋势.2.增函数与减函数形式的等价变形 在区间上是增函数当时有； 在区间上是减函数当时有； 设那么上是增函数；上是减函数.3. 单调性与单调区间的定义如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间）注意 单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开.4.单
2、调函数的运算性质 若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： (1)与具有相同的单调性； (2)与，当时，具有相同的单调性，当时，具有相反的单调性； (3)当恒不等于零时，与具有相反的单调性； (4)当，都是增（减）函数时，都是增（减）函数；5. 复合函数的单调性：同增异减6. 函数的最大（小）值的定义一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：对于任意的，都有；存在，使得.那么，我们称是函数的最大（小）值.注意 （1）首先是一个函数值，他是值域的一个元素；（2） 对于定义域内的每一个元素都满足；（3） 这两条缺一不可.7. 奇偶性的定义奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都
3、有.偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有.奇偶性：如果函数时奇函数或偶函数，那么就说函数具有奇偶性. 注意 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； 是奇函数；是偶函数； 奇函数在0处有定义，则； （4）奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称； （5）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性.8. 函数奇偶性的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3） 两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数； （5） 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.9.复合函数的奇偶性若函数，的定义域都是关于原点
4、对称的，则，都是奇函数时，是奇函数；，都是偶函数，或者一奇一偶时，是偶函数类型一 用定义证明函数的单调性例1 用定义证明在定义域内为增函数.例2 讨论在其定义域上的单调性.例3 设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性.类型二 运用单调函数的运算性质判断函数的单调性例1 已知与均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性.（1） （2）例2 判断下列函数在其定义域内的单调性.（1） （2）类型三 复合函数的单调性例1 函数的单调递增区间是_.例2 函数的单调递增区间是 .类型四 利用函数的单调性求参数的取值范围例1 若函数在上为增函数，则实数的取值范围.例2 函数在上是增函数，求实
5、数a的取值范围例3 函数在区间（-2，+）上是增函数，求的取值范围.例4 已知函数若，则实数的取值范围.类型五 利用函数的单调性求最值例1 （1）求函数的最小值；（2）函数在区间上的最值；（3）函数的最大值.例2 （1）函数在区间上有最大值9，最小值-7，求的值.（2）已知对于函数，若的定义域和值域都为，求的值.（3） 已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值.（4） 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，求的取值范围 . 例3（1） 已知函数的最大值不大于，又当时，求的值.（2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值.（3）已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值.例4 已
6、知函数，.(1) 当时，求函数的最小值；(2) 若对任意，恒成立，试求的取值范围.类型六 函数的单调性解不等式例1 定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合例2 已知函数求满足不等式的的取值范围.例3奇函数的定义域为,且在上为增函数，问：是否存在使对任意均成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.类型七 奇偶函数的判断例1判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）例2 （1）若为偶函数，求实数的值.（2） 若函数是偶函数，且其定义域为.求的值；求函数在其定义域上的最大值.例3 函数是定义在上的奇函数，且.（1） 确定函数的解析式；（2） 用定义证明在上是增函数；解不等式例4
7、 设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值类型八 利用函数的奇偶性求函数的解析式例1 （1）已知函数是偶函数，且当时有，求的解析式.（2） 已知是上的奇函数，且当时，求的解析式.例2 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式类型九 单调性与奇偶函数的综合运用例1 已知函数对任意，且当.（1） 判断函数的奇偶性；（2） 求证：是上的减函数；（3） 求在上的最大值和最小值.例2 已知定义在上的函数满足：对任意，；当时，且.（1） 试判断函数的奇偶性；（2） 判断函数在上的单调性；（3） 求不等式的解集.例3已知函数是定义在上的恒不为零的函数，且对任意的.（1） 求的值，并证明对任意的，
8、都有；（2） 设当时，都有，证明：上是减函数.例4 已知函数在上有定义，,当且仅当时且对任意都有,试证明：(1)证明为奇函数；(2)在上单调递减.作业1 下列函数中，在区间上单调递增，且在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D.2 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D.3 用定义证明在上为增函数.4.证明函数在定义域上是减函数.5. 判断函数的单调性.6.已知函数（1） 若，求的定义域；（2） 若在区间上是减函数，求实数的取值范围.7.已知函数（1） 当时，求的最小值.（2） 当时，求的最小值.（3） 若为正常数，求的最小值.8. 已知函数.（1） 当时，求
9、的最值；（2） 当时，求的最值；（3） 当时，求的最值.9.求在区间-1,2上的最大值.10.试讨论函数的单调性（其中）11.判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）12.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）解不等式;（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.13. 函数对任意的，都有，并且当时，（1） 求证：是上的增函数；（2） 若解不等式.14. 已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时判断在上的单调性.15. 若函数在上是单调函数，求的取值范围.16. 已知函数，若的定义域和值域均为，求实数的值.17. 若函数为偶函数，求实数的值.18. 已知是偶函数，是奇函数，且，求，的解析式.19. 若偶函数在上为增函数，则满足的实数的取值范围.20. 已知是定义在上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意都满足.（1） 求的值；（2） 判断的奇偶性，并说明理由.21. 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立.（1） 判断在上的单调性；（2） 解不等式；（3） 若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
