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1、高考资源网（） 您身边的高考专家 黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试 数学（理）试题 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 已知表示虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】A 【解析】 本题选择A选项. 3. 在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】区间的长度为, 即,区间长度为,事件“”发生的概率是,故选B. 点睛:本题考查学生的是几何概型
2、求概率,属于基础题目. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型特点是无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：每个结果的发生具有等可能性,计算公式：P(A). 4. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 本题选择C选项. 5. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】第一次循环,第二次循环,第三次循环,满足,此时故选D. 6. 设向量满足，则（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案
3、】A 【解析】 两式相减并整理得. 本题选择A选项. 7. 已知变量满足则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，代表点和可行域中的点连成的直线斜率，结合图形易知当时，斜率最大，最大值为2. 本题选择A选项. 点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法 解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义 8. 已知是大于0的常数，把函数和的图象画在同一坐标系中，下列选项中不可能出现的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若，则，则函数在取极值，由于，故答案A正确，D不正确
4、；若，则，则函数在取极值，由于，故答案B ，C都正确。应选答案D。 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 4 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 从三视图中提供的图形信息与数据信息可知该几何体是正方体去两个相同的三棱锥（虚线表示的部分），因为正方体的体积是，每个小的三棱锥的体积，则三视图所代表的几何体的体积，应选答案A。 所以函数在处取最小值，结合函数的图像可知当且，即时，方程有且仅有四个实数根，应选答案B。 10. 函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】由图象易知， 依题意可得，解之得， 因此， 将代
5、入可得 本题选择B选项. 11. 设是等差数列，是等比数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，使得 【答案】C 【解析】A项,是等差数列,，所以数列单调递增,错误;因为等差数列的图象为一次函数上孤立的点,而等比数列为指数函数上孤立的点,且由题意两个函数分别单调递增,故画出相对应的函数图象,一条直线与一条下凸的曲线,在自变量n取1和2017时有交点,因此在时,时,所以B,D错误,C正确,故选C. 点睛:本题考查等差、等比数列的函数特点以及基本不等式的应用的综合问题,属于中档题目. 等差数列的判断方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中
6、项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq； (4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn. 12. 已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，其中点是椭圆的上顶点，椭圆的左顶点为，直线分别与直线相交于两点.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意易得直线，由整理可得， 解得 而， 再由三角形相似可得： 本题选择B选项. 点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系 第卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答
7、题纸上） 13. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是_ 【答案】6 【解析】设等差数列,首项,公差为,则,解得,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6,故填6. 14. 已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为，则_ 【答案】 【解析】设双曲线的焦距为，则即把代入双曲线方程可得 15. 的展开式中，各项系数和为_ 【答案】243 【解析】令，得到各项系
8、数和为. 16. 三棱锥的底面是等腰直角三角形，侧面是等边三角形且与底面垂直，则该三棱锥的外接球半径为_ 【答案】 【解析】 如图，设球的半径与球心到底面的距离分别为，则容易算得，依据勾股定理可得，应填答案。 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在中，,. （1）求的长； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析: （）设，在和中分别用表示,求出值,进而求得的长度; （）由题意知,即由题意知都是锐角,可分别求得两角的正余弦值,利用直角三角形两锐角互余,得,展开代入即可. 试题解析:（）设，由题意知， 解得（负值舍去
9、）， 因此 （）由题意知 因为，所以， 所以， 18. 某金匠以黄金为原材料加工一种饰品，经多年的数据统计得知，该金匠平均每加5 个饰品中有4个成品和1个废品，每个成品可获利3万元，每个废品损失1万元，假设该金匠加工每件饰品互不影响，以频率估计概率. （1）若金金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率； （2）若该金匠加工了 3个饰品，求他所获利润的数学期望. (两小问的计算结果都用分数表示） 【答案】（1）；（2）万元. 【解析】【试题分析】（1）依据题设运用概率公式分析探求；（2）运用数学期望的计算公式求解： （）依题意，该金匠加工饰品的废品率为， 他加工的4个饰品中，废品的数量不
10、超过1的概率为 （）设为加工出的成品数，则可能的取值为0,1,2,3， ， ， ， 故该金匠所获利润的数学期望是万元 19. 如图，是正方形的边的中点，将与分别沿折起，使得点与点重合，记为点，得到三棱锥. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】【试题分析】（1）依据题设运用线面垂直、面面垂直的判定定理进行推证；（2）构建空间直角坐标系，运用向量的数量积公式探求： （）证明：， 交于点，在平面内，平面， 在平面内，平面平面 （）设正方形的边长为2，取中点，连接，过点作于点， 易证平面，所以， 又，所以平面， 平面，在平面内， ， 且， ， 以为
11、坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则 令，得， 又平面的一个法向量为，记二面角的平面角为， 则 20. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点与拋物线交于两点，为坐标原点，的面积为. （1）求； （2）设点为直线与拋物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为的两条弦，如果，证明直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）；（2）直线经过定点. 【解析】试题分析： (1)焦点坐标，联立直线方程与抛物线方程得. 结合韦达定理和面积公式得到关于实数p的方程：， 解得. (2)很明显都不等于零.设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得直线方程为，则直线经过定点. 试题解
12、析： （1），则直线的方程为，代入抛物线方程得. 设，则. 根据抛物线定义，所以. 坐标原点到直线的距离 . 所以的面积为，解得. （2）抛物线方程为，直线，即，解得. 设.根据题意，显然都不等于零. 直线，即，代入抛物线方程得. 由于点在抛物线上，依据根与系数的关系得，所以. 同理. 而直线的方程为，因为也抛物线上，所以代入上述方程并整理得， ， . 令，则，代入的方程得， 整理得， 若上式对任意变化的恒成立，则，解得 故直线经过定点. 21. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析： (1)利用
13、导函数研究切线方程可得在点处的切线方程为. (2)结合导函数考查函数的性质： 当时，. 当时，不合题意. 则实数的取值范围为. 试题解析： （1）当时,，. 函数在点处的切线方程为. （2）当时，. 令，. 当时， 二次函数的图象的对称轴为，它在上单调递增， . 在上单调递增，因此. 当时，令，得，. ， . 当时，单调递减， 此时，不合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度
14、进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程，和曲线的直角坐标方程； （2）若曲线和共有四个不同交点，求的取值范围. 【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）. 【解析】试题
15、分析: （）曲线表示一个以为圆心，2为半径的圆,消掉参数即可求得方程；曲线根据极坐标与直角坐标互化公式化简即可.（）联立曲线和,由于两方程表示的曲线均关于轴对称，因此转化为关于的方程有两个大于0的不等实根,列出不等式解出的取值范围 试题解析:（）曲线的普通方程为，表示一个以为圆心，2为半径的圆； 曲线的极坐标方程可化为，故对应的直角坐标方程为 （）将两方程联立得得， 由于两方程表示的曲线均关于轴对称，所以只要关于的方程有两个大于0的不等实根，即代表两个曲线有4个不同交点，因此有解得 23. 选修4-5:不等式选讲 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1）8；（2）. 【解析】试题分析: （）根据题中等式由基本不等式放缩,可得的范围,再由可得最小值; （）结合要求的最值可得，所以，验证取等条件求出最值. 试题解析:（）由，可得， ， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为8 （）因为， 所以， 当且仅当，即且时，等号成立 点睛:本题考查学生利用基本不等式与和或者乘积的定值求最值的问题,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立(2)既要记住基本不等式
