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1、Page 11 of 11龙文教育个性化辅导授课案ggggggggggggangganggang纲 教师: 学生: 日期: 年 月 日 星期 时段: 授课题目一.函数的对称性、周期性函数对称性、周期性基本知识一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、 对称性定义（略），请用图形来理解。3、 对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 奇函
2、数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称 也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。 若写成：，函数关于直线 对称 （2）函数关于点对称 或 简证：设点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。 若写成：，函数关于点 对称 （3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。4、 周期性： （1）函数满足如下关系系，则 A、
3、 B、 C、或（等式右边加负号亦成立） D、其他情形 （2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数” （3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上） （4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以
4、为周期. 定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.二、 两个函数的图象对称性1、 与关于X轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。2、 与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。3、 与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。4、 与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。5、 关于点(a,b)对称。换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。6、 与关于直线对称。7、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，
5、推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、 函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称。4、如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期
6、性函数。6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线与关于X轴对称。2、曲线与关于Y轴对称。3、曲线与关于直线对称。4、曲线关于直线对称曲线为。5、曲线关于直线对称曲线为。6、曲线关于直线对称曲线为。7、曲线关于点对称曲线为。三、试题1已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（A ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负.分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是推论3
7、.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( B )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B3.定义在R上的函
8、数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ D ） A.0 B.1C.3D.5 分析：， ，则可能为5，选D.4已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.5，则，中最多有（ B ）个不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B. 6：已知，则（ A ）.A
9、. B. C. D.3 分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.选A.7：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .解：，令，则，即有，令，则，其中，. 或有，得.8设函数为奇函数，则（ c ）A0B1CD5分析：答案为B。先令f（1）= f（-1+2）=f（-1）+f（2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f（-1）=-1/2，所以，f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案为c。9 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ B ）(A
10、)； (B)；(C)； (D)分析：答案为B。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f（x）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f（x）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B。10设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（C）A. B. C. D.分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 高考资源网 11：已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1
11、)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减. 证明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f(x). f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1). f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 f(x)在(1，1)上为减函数
12、.12. 已知函数yf (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知yf (x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值. 证明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.解：f (x)是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知yf (x)在0,1上是一次函数，可设，而，当时，f (x)=-3x，从而当时，故时，f (x)= -3x，.当时，有，0. 当时，13设（）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称对任意，都有（）（）（），且f(1)=()求；()证明（）是周期函数；（）记（），求()解：因为对，都有（）（）（x）,所以（）0， ()证明：依题设（）关于直线对称，故（）（），即（）（），R又由（）是偶函数知（）（），R，（）（），R，将上式中以代换，得（）（），这表明（）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. （）解：由()知（）， （）的一个周期是2（）=（）,
