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1、我们在这里,召开私营企业家联谊会,借此机会,我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会,祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康,祝各位企业家事业兴旺第三章 函 数 课时16二次函数的综合(建议时间:60分钟分值:70分)评分标准:选择题和填空题每小题3分命题点1二次函数的实际应用1. (2016江西模拟)初三某班一女生在一次投掷实心球的测试中,实心球所经过的路线为如图所示的抛物线yx2x的一部分,请根据关系式及图象判断,下列选项正确的是()A. 实心球的出手高度为米B. 实心球飞出2米后达到最大高度C. 实心球在飞行过程中的最大高度为3米D. 该同学的成绩是8米 第1题图 第2题图2. (20
2、16日照)如图,一抛物线型拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位下降1米后,水面的宽度为_米3. (6分)(2016咸宁)某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件?4. (8分)(2016义乌)课本中有一个例题:有一个窗户形状如图,上
3、部是一个半圆,下部是一个矩形如果制作窗框的材料总长为6 m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个例题的答案是:当窗户半圆的半径为0.35 m时,透光面积的最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图,材料总长仍为6 m利用图,解答下列问题:(1)若ab为1 m,求此时窗户的透光面积;(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明第4题图5. (10分)音乐喷泉(图)可以使喷水造型随音乐的节奏变化而变化,某种音乐喷泉形状如抛物线,设其出水口为原点,出水口离岸边20 m,音乐变化时,抛物线的顶点在直线ykx上
4、变动,从而产生一根根不同的抛物线(图),这组抛物线的统一形式为yax2bx.(1)若已知k1,且喷出的抛物线水线最大高度达3 m,求此时a、b的值;(2)若k1,喷出的水恰好达到岸边,则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少?(3)若k2,且要求喷出的抛物线水不能到岸边,求a的取值范围第5题图命题点2二次函数的综合应用6. (8分)(2015龙东地区)如图,抛物线yx2bxc交x轴于点a(1,0),交y轴于点b,对称轴是x2.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;第6题图7. (10分)如图,二
5、次函数yax2bxc的图象与x轴相交于点A(1,0),B(3,0),与y轴相交于点C(0,3)(1)求此二次函数的解析式(2)若抛物线的顶点为D,点E在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,直线AE交对称轴于点F,试判断四边形CDEF的形状,并说明理由(3)若点M在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以a,E,M,P为顶点且以aE为一边的平行四边形?若存在,请直接写出所有满足要求的点P的坐标;若不存在,请说明理由第7题图8. (10分)(2016东营)在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0,4)、(1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90,得到平行四边形A
6、BOC.(1)若抛物线过点C、A、A,求此抛物线的解析式;(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:当点M在何处时,aMa的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标;(3)若P为抛物线上的一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q构成平行四边形时,求点P的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点N的坐标第8题图9. (12分)(2016淮安)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2bxc的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0,8),点b的坐标为(4,0)(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标;(2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图
7、象上的动点,连接CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF,设平行四边形CDEF的面积为S.求S的最大值;在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数图象上时,请直接写出此时S的值第9题图【试题链接】其他试题见精讲版P116125.【答案】1. D【解析】由函数解析式可得:当x0时,y,即出手时的高度为,故A选项错误;函数的顶点坐标为(3,),即可得当实心球飞出3米后达到最大高度,最大高度为米,故B、C错误;当y0时,解得x18,x22(舍去)即可得该同学的成绩为8米故选D.第2题解图2. 26【解析】如解图,建立平面直角坐标系,设横轴x通过ab,纵轴y通过ab中点O且通过C点,则通过画图
8、可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过a,b两点,可求出Oa和Ob为ab的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式yax22,其中a可通过代入a点坐标(2,0)到抛物线解析式得出:a0.5,抛物线解析式为y0.5x22,当水面下降1米,通过观察抛物线在图上的变化可转化为:当y1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y1代入抛物线解析式得到:10.5x22,解得x,所以水面宽度增加到2米3. 解:(1)y30030(60x)30x2100;(2分)(2)设每星期利润为W元,W(x40)(30x2100)30(x55)2
9、6750.x55时,W最大值6750.每件售价定为55元时,每星期的销售利润最大,最大利润为6750元(4分)(3)由题意(x40)(30x2100)6480,解得52x58,当x52时,销售300308540,当x58时,销售300302360,该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装360件(6分)4. 解:(1)由已知得AD m,S1 m2;(2分)(2)设ABx m,则AD3x,3x0,0x.(4分)设窗户面积为S,由已知得:SABADx(3x)x23x(x)2,(6分)当x时,窗户面积S有最大值,且x在0x的范围内,S最大值 m21.05 m2,与课本中的
10、例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大(8分) 5. 解:(1)yax2bx的顶点为(,),抛物线的顶点在直线ykx上,k1,抛物线水线最大高度达3 m,3,解得a,b2,(2分)即k1,且喷出的抛物线水线最大高度达3 m时a、b的值分别是、2;(3分)(2)k1,喷出的水恰好到岸边,出水口离岸边20 m,抛物线的顶点在直线ykx上,此时抛物线的对称轴为x10,yx10,即此时喷出的抛物线水线最大高度是10米;(6分)(3)yax2bx的顶点(,)在直线y2x上,2,解得b4,喷出的抛物线水线不能到岸边,出水口离岸边20 m,10,即10,解得:a.(10分) 6. 解:(1)根据A(1,0)
11、及对称轴是x2,得C(3,0),把A(1,0),C(3,0)分别代入yx2bxc,得,(2分)解得,抛物线的解析式为yx24x3;(4分)(2)存在,点P的坐标为(2,1)理由如下:如解图,存在点P,使PAB的周长最小第6题解图点A与点C关于x2对称,连接BC与对称轴交于一点,则该点即为所求的点P,在yx24x3中,令x0,得y3,B(0,3),设直线BC的解析式为ykxb,将B(0,3),C(3,0)分别代入ykxb,得,解得,(6分)直线BC的解析式为yx3,当x2时,y1,点P坐标为(2,1)(8分)7. 解:(1)抛物线经过点a(1,0),b(3,0),C(0,3),解得,此二次函数的
12、解析式为yx22x3;(3分)(2)四边形CDEF是正方形理由如下:yx22x3(x1)24,顶点D(1,4),对称轴为直线x1,如解图,连接CE,交DF于点G.第7题解图点C,E关于对称轴对称,CGEG,DFCE,C(0,3),E(2,3),G(1,3),设直线AE的解析式为ykxb,则,解得,直线AE的解析式为yx1,点F(1,2),(5分)GCGDGEGF1,CEDF2.四边形CDEF是矩形,DFCE,四边形CDEF是正方形;(7分)(3)存在满足条件的点P有三个,分别为:P1(0,3),P2(1,3),P3(1,3)(10分)第7题解图【解法提示】如解图,AE为平行四边形的一条边,E(
13、2,3),CE2,当P点与C点重合时,满足四边形PEAM为平行四边形,此时P1(0,3);当AE与PM平行时,依题意可知x22x33,解得x11,x21,满足条件的点P共有3个,坐标分别为(0,3),(1,3),(1,3)8. 解:(1)平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90,得到平行四边形ABOC,点A的坐标是(0,4),点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,4)(1分)抛物线过点C,A,A,设抛物线的函数解析式为yax2bxc(a0)可得:,解得,(2分)抛物线的函数解析式为yx23x4; (3分)第8题解图(2)如解图,连接AA,过第一象限内抛物线上任一点M作y轴的平行线交AA于点G,连接AM,AM,设直线AA的函数解析式为ykxb,可得:,解得,直线aa的函数解析式为yx4,(5分)设M(x,x23x4),SAMASAMGSAMGMGAO,SAMA4x23x4(x4)2x28x2(x2)28,(6分)点M在第一象限的抛物线上,0x4,x2时,AMA的面积最大,且最大面积为8,M(2,6);(7分)(3)设P点的坐标为(x,x23x4),当P、N、B、Q构成平行四边形