《【新步步高】2016-2017学年高二数学人教b必修5课件：1.1.1 正弦定理（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新步步高】2016-2017学年高二数学人教b必修5课件：1.1.1 正弦定理（一） （43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一),明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.,明目标、知重点,1.在RtABC中，C90，则有 (1)AB ，0A90，0B90； (2)a2b2 (勾股定理)；,90,c2,c,c,c,填要点记疑点,2.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 ，这个比值是三角形外接圆的 .,直径2R,3.解三角形：一般地，我们把三角形的三个
2、角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.,探要点究所然,情境导学,如图，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶 点C转动.C的大小与它的对边AB的长度之间有 怎样的数量关系？能否用一个等式把这种关系精 确地表示出来？这就是本节我们要一起研究的问题.,探究点一 正弦定理的推导,思考1 在初中，我们已学过直角三角形，那么在直角三角形中，你能探究出角与边的等式关系吗？,答 如图，在RtABC中，,思考2 在锐角ABC中，以上关系式是否仍然成立？,答 如图，在锐角ABC中，作CDAB于点D，,思考3 在钝角ABC中，以上关系式是否仍然成立？,答 如图，作CDA
3、B，交AB的延长线于点D，,思考4 从正弦定理的表达形式上，你能说明正弦定理的基本作用吗？,答 (1)正弦定理说明在同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数k使aksin A，bksin B，cksin C；,从而知正弦定理的基本作用：,小结 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.,例1 已知ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)； (1)A60，B45，a10；,解 因为C180604575，,(2)a3，b4，A30；,因此B41.8或B138.2
4、(如图所示)，,当B41.8时，C1803041.8108.2，,当B138.2时， C18030138.211.8，,因此C45或C135. 因为B120，所以C60. 因此C45，A180BC15.,再由正弦定理，得,反思与感悟 (1)已知两角和任一边，解三角形时，可直接利用正弦定理求得边的长，要注意结合三角形的内角和为180. (2)已知两边和一边的对角，利用正弦定理解三角形时可能出现一解，两解或无解的情况，要注意运用三角形中大边对大角的性质，判断解的个数.,跟踪训练1 在ABC中，分别根据下列条件，解三角形. (1)c10，A45，C30；,解 由三角形内角和定理得： B180(AC)
5、180(4530)105，,(2)b4，c8，B30；,又30C150，C90，,(3)a7，b9，A100；,解 a7，b9，ab， AB， 又A100，本题无解.,cb,0C180，C45或135. 当C45时，A105，,探究点二 利用正弦定理证明几何问题,证明 如图，在ABD和CAD中，,反思与感悟 本例题证明了一个定理，即三角形角平分线定理，可以直接利用这个定理来证明或计算其他问题.,跟踪训练2 利用正弦定理证明定理：等腰三角形的两个底角相等.,证明 设等腰ABC的两边ABAC，,所以sin Csin B， 由于0BC180， 所以BC.,探究点三 正弦定理的几何解释,答 如图，因为
6、ABC为锐角三角形， 连接BO交圆O于D，连接CD. 因为AD，,答 如图，当ABC为钝角三角形时， 连接BO交圆O于D，连接CD，,A180D，,例3 在任意ABC中，求证：a(sin Bsin C)b(sin Csin A)c(sin Asin B)0.,证明 由正弦定理，令aksin A，bksin B，cksin C，代入得： 左边k(sin Asin Bsin Asin Csin Bsin Csin Bsin A sin Csin Asin Csin B)0右边， 等式成立.,反思与感悟 正弦定理的变形公式aksin A，bksin B，cksin C(k0)能够使三角形边与角的关系
7、相互转化.,跟踪训练3 在ABC中，角A、B、C的所对边分别是a、b、c，若ABC123，求abc的值. 解 ABC，ABC123，,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.在ABC中，一定成立的等式是( ) A.asin Absin B B.acos Abcos B C.asin Bbsin A D.acos Bbcos A,得asin Bbsin A，故选C.,C,1,2,3,4,2.在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为( ),R3.,A,1,2,3,4,3.在ABC中，sin Asin C，则ABC是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形,解析 由sin Asin C,0A180，0B180， AC， ac，ABC为等腰三角形.,B,1,2,3,4,呈重点、现规律,2.正弦定理的应用范围： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.,3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.,
