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1、1.5 数学文化背景题专项练,-2-,我国古代数学里有大量的实际问题,可以结合统计、函数、数列、立体几何、算法等内容.高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化.这些问题同时也体现了应用性的考查,应引起考生的充分重视.常见的数学文化题型有: (1)数学名著中的概率与统计; (2)数学名著中的数列问题; (3)数学名著中的算法与程序框图; (4)数学名著中的立体几何问题; (5)数学名著中的三角函数问题; (6)与杨辉三角、祖暅原理有关的问题.,-3-,一、选择题(共12小题,满分60分) 1.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体
2、体积的问题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,解析 由pq,反之不成立, p是q的充分不必要条件,故选A.,-4-,2.(2018北京,文5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
3、于 .若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ),D,-5-,3.九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为( ),B,解析 由三视图知,该几何体可看作底面是斜边边长为2的等腰直角三角形,且高为2的直三棱柱,所以该几何体的表面积为,-6-,4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6
4、2立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,B,解析 设底面圆半径为R,米堆高为h. 米堆底部弧长为8尺,-7-,5.张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统地介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为( ),B,-8-,B,-9-,7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=
5、2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( ),A.7 B.12 C.17 D.34,C,解析 由题意,得x=2,n=2,k=0,s=0,输入a=2,则s=02+2=2,k=1,继续循环;输入a=2,则s=22+2=6,k=2,继续循环;输入a=5,s=62+5=17,k=32,退出循环,输出17.故选C.,-10-,8.(2018上海,15)在九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( ) A.4 B.8 C.12 D.16,D,解析 设正六棱柱为A
6、BCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F.共8个, 以对角面AA1C1C,AA1E1E为底面矩形的阳马有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8个. 所以共有8+8=16(个),故选D.,-11-,9.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图
7、,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( ) A.0 B.2 C.4 D.14,B,解析 由程序框图,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),则输出的a=2.,-12-,10.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0h2)的平面截该几何体,则截面面积为( ) A.4 B
8、.h2 C.(2-h)2 D.(4-h2),D,-13-,解析 由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥,底面半径为2,高为2,截面为圆环,小圆半径为r,大圆半径为2,则 ,得到r=h,所以截面圆环的面积为4-h2=(4-h2).故选D.,-14-,11.我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261)在他的著作数书九章中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的n=5,v=1,x=2,则输出的是( ) A.63 B.64 C.31 D.32,A,-15-,解析 输入n=5,v=1,x=2,则i=4, 满足条件i0,执行循环体,v=12
9、+1=3,i=3; 满足条件i0,执行循环体,v=32+1=7,i=2; 满足条件i0,执行循环体,v=72+1=15,i=1; 满足条件i0,执行循环体,v=152+1=31,i=0; 满足条件i0,执行循环体,v=312+1=63,i=-1, 不满足条件i0,退出循环,输出v的值为63,故选A.,-16-,12.九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种质量单位).这个
10、问题中,甲所得为( ),B,解析 设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d, 又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1,-17-,二、填空题(共4小题,满分20分) 13.(2018浙江,11)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数分别 为x,y,z,则 则当z=81时,x= ,y= .,8,11,-18-,14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现
11、有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”,1,-19-,15.我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,10),且a1a2a10,若48ai=5M,则i= .,6,-20-,16.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图,会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为,那么 = . (赵爽的弦图),-7,-21-,
