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1、第2节 不等式的证明,最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.,1.基本不等式,知 识 梳 理,2ab,ab,ab,abc,2.不等式的证明方法,ab,(2)综合法与分析法 综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 、 而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的 ，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.,推理,论证,充分条件,1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)比较法
2、最终要判断式子的符号得出结论.( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ) 答案 (1) (2) (3) (4),诊 断 自 测,由ab1得ab1，ab0，,答案 A,3.(选修45P23习题2.1T1改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_. 解析 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2
3、b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab). 因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b. 答案 MN,解析 由题意得，ab1，a0，b0，,答案 4,5.已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy. 证明 因为x0，y0，,考点一 比较法证明不等式,【例11】 (2017江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216.试证明：acbd8. 证明 (a2b2)(c2d2)(acbd)2 a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22acbd) b2c2a2d22acbd(bcad)20， (
4、a2b2)(c2d2)(acbd)2， 又a2b24，c2d216. 因此(acbd)264，从而acbd8.,规律方法 1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号. 2.在例12证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1(b0). 提醒 在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.,考点二 综合法证明不等式 【例21】 (2017全国卷)已知实数a0，b0，且a3b32. 证明：(1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明 (1)a0，b0，且a3b32. 则(ab)(a5b5
5、)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab),所以f(x)2的解集Mx|1x1. (2)证明 由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1， 从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21 (a21)(1b2)0， 所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.,规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. 2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常
6、用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.,(1)解 当x3； 当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x4， 此时，3f(x)6； 当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6. 综上可知，f(x)的最小值m3.,(2)证明 a，b，c均大于0，且abc3.,考点三 分析法证明不等式,证明 由abc且abc0，知a0，c0.,只需证b2ac0， 只需证(ab)(2ab)0， 只需证(ab)(ac)0. abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0显然成立， 故原不等式成立.,(1)解 依题意，原不等式等价于|x1|x3|8. 当x1时，则2x28，解得x3. 所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x3或x5.,只需证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2. |a|0. 故(ab1)2(ba)2成立.从而原不等式成立.,
