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1、第 1 页，共 4 页 佛山一中佛山一中 2019 届高三届高三年级年级期中期中考考数学（理科数学（理科）答案）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D B D A D B C D A 二、填空题 13. 1 4 14. 5 2 15. 4 3 16. 2 三、解答题 17. （1） 在 中，因为 ， 由余弦定理得 ，2 分 所以 ， 整理得 ， 解得 所以 4 分 所以 是等边三角形 所以 5 分 （2） 由于 是 的外角， 所以 6 分 因为 的面积是 ， 所以 7 分 所以 8 分 在 中， 所以 10 分 在 中，由正弦定理得
2、，11 分 所以 12 分 18. (1)设 1221 ( ,), (,)AyxyxB，由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)yk xk1 分 佛山一中高三年级期中考数学（理科） 第 2 页，共 4 页 由 2 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk2 分 2 16160k ，故 12 2 2 24 k x k x 3 分 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x 4 分 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得1k （舍去） ，1k 5 分 因此l的方程为1yx6 分 (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)， 所以AB
3、的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx 8 分 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，则 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 10 分 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 11 分 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy12 分 19. （1） 因为四棱锥 ，底面 为菱形， ， 分别是 ， 的中点， 所以 是等边三角形， 所以 ，1 分 又因为在菱形 中， 所以 ，2 分 因为 ，所以 ，3 分 因为 ，所以 ，4 分 因为 ，所以 5 分 第 3 页，共 4 页 （2） 由（ ）知
4、 ， 两两垂直，所以以 为坐标 原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ， ， ，6 分 所以 ，7 分 设平面 的一个法向量为 ， 则 取 ，得 ，9 分 因为 ，所以 ， 所以 为平面 的一个法向量又 ，11 分 所以 因为二面角 为锐角， 所以所求二面角的余弦值为 12 分 20. (1) 设椭圆的半焦距为 c，则 222 cab，且 1 2 c e a 由 22 22 , 1, xc xy ab 解得 2 b y a 2 分 依题意， 2 2 3 b a ，于是椭圆的方程为 22 1 43 xy 4 分 (2)设 1122 11 , 22 A xxt
5、B xxt ，设 1 : 2 l yxt，与椭圆方程联立得 22 30.xtxt 则有 2 1212 ,3.xxt x xt 6 分 直线 PA,PB 的斜率之和 佛山一中高三年级期中考数学（理科） 第 4 页，共 4 页 1221 12 22 11 ()() 22 ()() 3 23 2 . 3 PAPB mxtmxnxtmx kk mxmx nm tmn tmtm 9 分 当 3 ,23 2 nmmn时斜率的和恒为 0，解得 1,1, 33 22 mm nn 11 分 综上所述，所有满足条件的定点 P 的坐标为 3 1, 2 或 3 1, 2 12 分 21. 解 （1）函数 f(x)的导
6、函数 4(4)(1) ( )(4), axx fxaxa xx 2 分 情形一 a0此时 0fx，于是 f(x)在 上单调递增；3 分 情形二 a0此时 f(x)在 4 0, a 上单调递增，在 4 , a 上单调递减4 分 （2）函数 f(x)存在极值，因此 a0根据题意，有 1212 012 1212 ( )()lnln1 ()4()(4), 2 f xf xxx fxa xxa xxxx 5 分 而 1212 12 8 (4), 22 xxxx faa xx 6 分 故只需要比较 12 12 lnlnxx xx 与 12 2 xx 的大小 令 2(1) ( )ln 1 t g tt t
7、，则 2 22 14(1) ( ) (1)(1) t g t ttt t 当1t 时，( )0g t，故( )g t在(1,)上单 调递增因此，当1t 时，( )(1)0g tg 于是， 2 1 2 1 2 1 21 ln 1 x xx xx x ，即 12 1212 lnln2xx xxxx 9 分 第 5 页，共 4 页 于是 12 0 (), 2 xx fxf 10 分 又 0fx在 上单调递减，因此 12 0 , 2 xx x 进而 120 2xxx12 分 22. 解：(1)曲线 1 C的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt (t 为参数)， 22 2 3 3 tx ty ，3
8、30xy， 曲线 1 C的普通方程为 3(1)yx2 分 曲线 2 C： 2 2 12 3sin ， 222 3sin12， 222 3()12xyy， 22 3412xy， 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 1 43 xy 5 分 ()由题意可设，与 A、B 两点对应的参数分别为 1 t， 2 t，将 1 C的参数方程代入2的直角坐标方程 22 1 43 xy ，化简整理得， 2 54120tt ， 12 12 4 5 12 5 tt t t ，7 分 12 12 |11| | | | ttFAFB FAFBFAFBtt ， 12 12 0 5 t t ， 22 12121212 4121
9、6 | |()4()4() 555 ttttttt t， 16 114 5 12 |3 5 FAFB 10 分 23.解：(1)由题意，不等式|1|1|xxm 有解，即(|1|1|)minmxxM1 分 |1|1| |(1)(1)| 2xxxx ，3 分 当且仅当(1)(1)011xxx 时取等号， 2M5 分 (2)由(1)得32ab， 佛山一中高三年级期中考数学（理科） 第 6 页，共 4 页 11111111 (3)()2()() 22222 121 (11)(22 1)2 222 abaab aabaabaab aab aba ，8 分 当且仅当 21 22 aab ab aba 时取等号，9 分 故 11 ()2 2 min aab 10 分
