计量经济学理论预备知识总结

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1、 1 第一讲第一讲第一讲第一讲 计量经济学理论预备知识总结计量经济学理论预备知识总结计量经济学理论预备知识总结计量经济学理论预备知识总结 摘要：本课程要求学生具有微积分、概率论和线性代数的基础。本章只对其中的重要概念进行简单的复习。 阅读材料：Jonhston的appendix;Wooldrige的Appendix A、B、C, 2 , 1(njmi = =把它们按一定次序排成一个n行K列的长方形数表 = nKnn K K aaa aaa aaa A 21 22221 11211 MOMM ， 称为数域K上的一个n行K列的矩阵矩阵矩阵矩阵，简称为Kn矩阵。其中 ij a称为矩阵的第i行、第 j

2、列的元素。n1矩阵（只有一行）称为n维行向量维行向量维行向量维行向量；1n矩阵（只有一列）称为n维列向量维列向量维列向量维列向量。 零矩阵零矩阵零矩阵零矩阵、方阵方阵方阵方阵、对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵、单位阵单位阵单位阵单位阵 所有元素为零的矩阵称为零矩阵零矩阵零矩阵零矩阵，记为0。00,0=+AAA。 如果矩阵的行、列数都是n，则称A为n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵； n阶方阵A的元素按次序构成的n阶行列式，称为矩阵矩阵矩阵矩阵A的行列式的行列式的行列式的行列式，记为|A|。 在n阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵，记为；若对角矩阵的主对角线元

3、素全 为1，则称之为单位阵单位阵单位阵单位阵，记为I；特别地，I称为数量矩阵。 1.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算 ? 矩阵的加、减运算以及数乘运算 当矩阵A和B的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；AB等于所有对应位置的元素相加、减。 数乘运算就是数k乘矩阵A中所有元素得到的矩阵。 ABBA+=+， )()(CBACBA+=+， AOA=+，OAA=+)(， AA)()(kllk=，AAAlklk+=+ )(， BABAkkk+=+)(，AA =1， OA =0，AA=) 1( ? 矩阵相乘 记 smij aA =)(， nsij bB =)(， nmij cC =)(，

4、且ABC =，那么A和B相乘得到的矩阵C的元素可用公式表示 为 = = s k kjikij bac 1 ，), 1;, 1(njmi = =。 注意， 在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律， 即BAAB ； ACABA= 且0不能推出CB =。 矩阵相乘满足如下运算规则： )()(BCACAB=，ACABCBA+=+ )(， CABAACB+=+ )(，ABBA)()(kllk=，AA =I，AA =I， OAO =，OOA= ? 转置 把矩阵的行和列互换得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为 A。转置矩阵满足如下运算规则： AA= )( ； )(BABA+=+ ； )(kAkA= ； )(A

5、BAB= 。 若 AA=，那么A称之为对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵。 ? 矩阵的逆 对于n阶方阵A， 存在n阶方阵B， 使得IBAAB=， 那么A是可逆的，B称为A的逆矩阵， 记为 1 A。 方阵A可逆的充要条件是0|A，此时A是非奇异矩阵非奇异矩阵非奇异矩阵非奇异矩阵。 若0|=A，A是奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵。 逆矩阵具有的性质： AA= 11) (； 11 )()( = AA； 111 )( =ABAB 。 14 如何计算逆矩阵： 方法一， *1 | 1 A A A= ， * A为 A 的伴随矩阵，它是有代数余子式转置排列后组成。 方法二，用矩阵的初等变换求其逆矩阵。 ? 方

6、阵的行列式 （设A，B都是n阶方阵） | AA =，| )( |AA n kk=， |BAAB =； k |)(|AAk=， 11 | = AA ? 分块矩阵的运算 在运算中，可以把子块当作数量元素处理；但矩阵的分块方式要与运算相配套。 记 = 2221 1211 AA AA A ， = 2221 1211 BB BB B ， 那么， + + =+ 22222121 12121111 BABA BABA BA ， + + = 2222122121221121 2212121121121111 BABABABA BABABABA AB ， = 22 12 21 11 AA AA A ； + =

7、22 1 112122 2212 1 11 1 11212212 1 11 1 111 CAAC CAAAACAAA A ， 其中 1 12 1 11212222 )( =AAAAC， 11 A和 22 A都是非奇异的方阵。 特别地，设A是m阶方阵，B是n阶方阵，那么 |BA BO DA BC OA = ， |) 1(BA OB AD CB AO mn = = 1 1 1 BO OA BO OA ， = OA BO OB AO 1 1 1 ， = k k k BO OA BO OA ， = 1 111 1 BO CBAA BO CA ， = 111 1 1 BCAB OA BC OA ? 方阵

8、的迹 方阵的迹迹迹迹定义为矩阵主对角线上元素之和，记为 = i ii aAtr)( ；对于nm矩阵 A 和mn矩阵 B，有 )()(BAtrABtr= 。若多个矩阵不同次序相乘都是方阵，那么有 )()()(BCAtrCABtrABCtr= 。 ? 克罗内克积 给定nm矩阵 A 以及 qp 矩阵 B，那么 A 和 B 的克罗内克积BA定义为一个 nqmp 矩阵： = BaBa BaBa BA mnm n . . . 1 111 ， 克罗内克积满足如下运算规则： 111 )( =BABA； mn BABA|= ； )(BABA= ；)()()(BtrAtrBAtr=； BDACDCBA=)( 1.

9、3 一些重要的矩阵一些重要的矩阵一些重要的矩阵一些重要的矩阵 ? 正交矩阵 对于n维向量 21 ,., n =和 21 ,., n =， 称以下运算为和的内积内积内积内积： = = n i ii 1 。 向量 的长度长度长度长度定义为 |= 。若| 1=，则称为单位向量单位向量单位向量单位向量。若0 =，则称向量、正交 正交正交正交。 如果n阶方阵Q满足IQQQQ= ， 则称Q为正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵。 方阵Q为正交矩阵的充要条件就是Q的所有行 （列） 15 向量都是单位向量，而且两两正交。 ? 对称矩阵 如果n阶方阵Q满足 QQ =，则称Q为对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵。 ?

10、幂矩阵 若 n 阶方阵 = 32 MMM，那么 M 称为nn幂矩阵幂矩阵幂矩阵幂矩阵。 幂矩阵的性质： 1）rank（M）tr(M)； 2）M 是半正定的。 例子（一个常用的幂矩阵一个常用的幂矩阵一个常用的幂矩阵一个常用的幂矩阵 0 M） 给定一个列向量 1n Y以及元素全为元素全为元素全为元素全为 1 的n维列向量维列向量维列向量维列向量i，那么有： Yiy n i i 1 = = ；iaina = ； Yi n Y 1 = ； (用内积表示多元素相加) 令 )( 1 0 ii n IM= ，易证 0 M是对称幂矩阵，因此 000 MMM=； 00 0 MMM=； = Yy Yy YM n

11、1 0 ， 也就是说左乘矩阵 0 M能使 Y 中的原始数据转换成离差形式。 0 0 =iM ； 0)( 0 1 = = YMiyy n i i ； YMYYMYMyy n i i0 0 0 1 2 )()()(= = ； XMYXMYMxxyy n i ii0 0 0 1 )()()(= = ； 此外， 1 )(XXXXP ，PIXXXXIM nn = 1 )(都是对称幂矩阵，前者秩等于k，后者秩等于nk。 1.4 向量空间、线性无关与矩阵的秩 ? 向量空间、子空间 如果一个向量集合中的任何两个元素进行加法运算或数乘运算后仍然属于该集合， 则称该向量集合为一个向量空向量空向量空向量空 间间间间

12、。例如，所有的m维实向量组成m维向量空间 K 。 如果线性空间V的一个非空子集M也是一个向量空间，则称M为V的一个子空间子空间子空间子空间。例如，三维空间 3 的一 个平面或一条直线都是它的子空间。 ? 线性组合 给定 n R内一个向量组, 1 , 2 s ， 又给定实数域R内s个数 1 k, 2 k, s k ,称向量 ss kkk+ + 2211 为 向量组, 1 , 2 s 的一个线性组合。 ? 线性相关与线性无关 给定一组n维向量, 1 , 2 s ，如果存在一组不全为零的数 1 k, 2 k, s k，使得0 2211 =+ + ss kkk成 立，则称 1 2 s 线性相关线性相关

13、线性相关线性相关，换句话说，向量组线性相关等价于组中至少有一个向量可以写成其他向量的线性组线性组线性组线性组 合合合合。, 1 , 2 s 是线性无关线性无关线性无关线性无关当且仅当0 2211 =+ + ss kkk推出0. 21 = s 。 ? 矩阵的秩 16 矩阵的秩就是矩阵列向量组中极大线性无关组的向量个数，记为 rank(A)。 它满足以下性质： 1）);()()()( AArankAArankArankArank= 2）对于nm 矩阵 A，),min()(nmArank； 3）若 A 是 n 阶方阵且秩为 n，那么 A 是非奇异的，即|A|存在。 ? 列向量空间 由矩阵的列向量的所

14、有线性组合组成的向量空间，称为由 A 的列向量张成的列向量空间。 ? 线性方程组的解与矩阵的秩的关系 线性方程组可以用矩阵符号表示：bAx =，其中 A 是nm矩阵，b 是1n矩阵，rArank=)(，则有， 1）非齐次线性方程组bAx =有解的充要条件是rbArank=) (； 当nrbArank=) (时，方程组有唯一解；当nrbArank=) (时，方程组有无穷多解。 2）齐次线性方程组0=Ax有非零解的充要条件是nr ，即|A|=0。 3) nnx axaAx+=. 11 ，其中 i a是1m矩阵， i x 是X的第i个元素；也就是说Ax是矩阵A的列向 量的线性组合；那么bAx=有解的几何解释就是b属于A的列向量空间。 1.5 矩矩矩矩阵的特征根与特征向量阵