《高考总复习《走向清华北大》精品课件21三角函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考总复习《走向清华北大》精品课件21三角函数的性质（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十一讲三角函数的性质第二十一讲三角函数的性质 回归课本回归课本 1.正正 余弦曲线的定义余弦曲线的定义 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线正弦曲线和和余弦余弦 曲线曲线. 2.周期函数周期函数 对于函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,使得当使得当x取定义域内的取定义域内的 每一个值时每一个值时,都有都有f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做周期函数周期函数 .非零常数非零常数T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期.如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所的所 有周期中存在一个最小的正数有周
2、期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做那么这个最小正数就叫做 f(x)的的最小正周期最小正周期. 正弦函数正弦函数 余弦函数都是周期函数余弦函数都是周期函数,2k,kZ都是它们的周期都是它们的周期 ,最小正周期是最小正周期是2. 3.正弦函数正弦函数 余弦函数的图象和性质如下表余弦函数的图象和性质如下表 4.y=tanx的性质的性质 (1)定义域是定义域是x|xk+ ,kZ. (2)值域是值域是R,即正切函数既无最大值即正切函数既无最大值,也无最小值也无最小值. (3)周期性周期性:正切函数是周期函数正切函数是周期函数,最小正周期是最小正周期是. (4)奇偶性奇偶性:正切函数是正切函数
3、是奇函数奇函数. 2 (5)单调性单调性:正切函数在开区间正切函数在开区间 kZ内都内都 是增函数是增函数. (6)对称性对称性:正切函数的图象关于原点对称正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对正切曲线是中心对 称图形称图形,其对称中心坐标是其对称中心坐标是 (kZ).正切函数无正切函数无 对称轴对称轴. , 22 kk ,0 2 k 5.y=tanx(xk+ kZ)的图象的图象 2 考点陪练考点陪练 1.函数函数 的定义域是的定义域是( ) A.x|2k- x2k+ ,kZ B.x|2kx2k+ ,kZ C.x|2k- x2k,kZ D.xR 答案答案:D ()ycos sinx 2
4、2 2 2 2.若若 的最小正周期为的最小正周期为T,且且T(1,3),则正则正 整数整数的最大值是的最大值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案:B ( )2 3 f xcosx 11 ()|, 22 2 . 1,1.,1 2 22 .1,.1, 2 3.f xf x 2 () sinxcosxsinxcosx AB CD 已知函数则的 值域是 答案答案:C 4 ., 22 .,(1) 3 ., 4 4.f xtan() (kZ) ( 4 3 ., 44 kZ) (kZ) kZ x A kk B kk Ckk D kk 函数的单调递增区间为 , 4 , 22 , :xt,tant
5、 2 , ,t k kxkkZ 42 3 44 . t kk xk 解析 令则 单调递增 只有单调递增 才能使 原函数单调递增 答案答案:C 5.函数函数 xR是是( ) A.奇函数奇函数 B.偶函数偶函数 C.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数非奇非偶函数 5 2, 2 ysinx 5 222 , 22 5 2. 2 : y ysinxsinxcos x sinx 解析 为偶函数 答案答案:B 类型一类型一 三角函数的定义域三角函数的定义域 解题准备解题准备:求函数定义域的题型求函数定义域的题型,关键是求使式子有意义的关键是求使式子有意义的x的的 取值范围取值范围,将
6、问题转化为解不等式将问题转化为解不等式,此题是解三角不等式此题是解三角不等式,常常 用的方法有用的方法有:利用单位圆中的三角函数线利用单位圆中的三角函数线;利用三角函利用三角函 数的图象数的图象;利用函数单调性利用函数单调性,一定要与相应三角函数的周一定要与相应三角函数的周 期联系起来期联系起来. 1 2 (21 11; 2y. )1 28 2 lgsinxtanx y x cos log xtanx 【典例 】求函数的定义域 求函数的定义域 分析分析先写出使函数有意义的不等式或不等式组先写出使函数有意义的不等式或不等式组,再利用三再利用三 角函数图象或单位圆求解集角函数图象或单位圆求解集.
7、1 , 2 210 1, 1 0 (), 2 0 28 (). 282 1 sinx sinx tanx tanx xkkZ x cos x kkZ 解要使函数有意义 则 5 22, 66 3 , 24 3 2,(), 4 kxk kxk xkkZ 利用单位圆得 3 , 2 x|2kx2k 4 kZ. 函数的定义域为 1 2 20, 04, 0, 0, (). 2 2 , 2 log x x x tanx kxkkZ xkkZ 要使函数有意义 则得 x|0x 2 x4. 函数定义域为或 反思感悟反思感悟求三角函数的定义域求三角函数的定义域,既要注意一般函数的定义既要注意一般函数的定义 域的规律
8、域的规律,又要注意三角函数本身的特有属性又要注意三角函数本身的特有属性,如题中出现如题中出现 tanx,则一定有则一定有xk+ ,kZ. 求三角函数的定义域通常使用三角函数线求三角函数的定义域通常使用三角函数线 三角函数图象三角函数图象 或单位圆或单位圆. 2 类型二类型二 三角函数的值域及最值问题三角函数的值域及最值问题 解题准备解题准备:三角函数的值域及最值问题三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三实质上大多是含有三 角函数的复合函数的值域问题角函数的复合函数的值域问题,常用的方法有常用的方法有:化为代数函化为代数函 数的值域或化为关于数的值域或化为关于sinx(或或cosx)的二次
9、函数式的二次函数式,再利用再利用 换元换元 配方等方法求解配方等方法求解. 【典例典例2】求下列函数的值域求下列函数的值域: (1)y=2cos2x+2cosx; (2)y=3cosx- sinx; (3)y=sinx+cosx+sinxcosx. 分析分析先将原函数式进行等价变形先将原函数式进行等价变形,利用利用|sinx|1,|cosx|1,但但 要注意自变量的取值变化要注意自变量的取值变化. 3 2 max m 2 in 11 2. 22 111 ,4 . 1 y2cos x2cosx cosx1y4, cosx 22 y 2 cosx 解 于是当且仅当时得当且仅当 时得故函数值域为 3
10、1 (2)332 3 22 2 3. 6 ycosxsinxcosxsinx cos x 1,2 3,2 3. 6 cos x 该函数值域为 2 2 2 (3) ()1 2 24 12 21, 44242 11 122. 42 , 2 y1 ysinxcosxsinxcosx sinxcosx sin x sinxsin xsin x sin x 所以当时取最大值 2 42 ,y1, 1 2. 1, 2 sin x 当时取最小值 该函数值域为 反思感悟反思感悟(1)将原函数式化为将原函数式化为 y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化为关于型或化为关于sinx( 或或cosx)
11、的二次函数式的二次函数式,利用换元法进行配方可解决问题利用换元法进行配方可解决问题. (2)关于关于y=acos2x+bcosx+c,a0(或或y=asin2x+bsinx+c,a0) 型或可化为此型的函数求值域型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭一般可化为二次函数在闭 区间上的值域问题区间上的值域问题,切忌忽视函数的定义域切忌忽视函数的定义域. (3)换元法换元法,旨在三角问题代数化旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性要防止破坏等价性. 类型三类型三 三角函数的单调性三角函数的单调性 解题准备解题准备:与三角函数单调性有关的问题与三角函数单调性有关的问题 1.单调区间的求法单调
12、区间的求法 函数函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的确定的单调区间的确定,基本思想基本思想 是把是把x+看作一个整体看作一个整体,比如比如:由由2k- x+2k+ (kZ)解出解出x的范围的范围,所得区间即为增区间所得区间即为增区间,由由2k+ x+2k+ (kZ)解出解出x的范围的范围,所得区间即为减所得区间即为减 区间区间. 2 2 2 3 2 2.如何比较两个三角函数值的大小如何比较两个三角函数值的大小 比较三角函数值的大小比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为往往是利用奇偶性或周期性转化为 同一单调区间上的两个同名函数值同一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较再利用单调性比较. 31; 2 4 . 2 3 3 6 ysinx x ytan 【典例 】求函数的单调递减区间 求的周期及单调区间 1:,ysinu . 2k2kkZ , 2kk 2 232 5 22 66 5 1212 5 1212 Z 5 ,( , 121 kkZ , kkZ . kkkZ). 2 x xk xk xk 解解法一 欲求函数的单调递减区间 只需求 的单调递增区间 由得 即 原函数的单调递减区间为 :y ,. 2k2x2kkZ ,kxk kZ . k(k 2, 3 2 3
