《复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 数列极限 第二章 数列极限 习 题 2.1 实数系的连续性 习 题 2.1 实数系的连续性 1. (1) 证明6不是有理数； (2) 3 +2是不是有理数? 证证 （1） 反证法。 若6是有理数， 则可写成既约分数 n m =6。 由， 可知是偶数，设，于是有，从而得到 是偶数，这与 22 6nm = mkm2= 22 23kn =n n m 是既约分数矛盾。 （2）3 +2不是有理数。若3 +2是有理数，则可写成既约分数 32+ n m =，于是 2 2 2623 n m =+， 2 5 2 6 2 2 = n m ，即6是有理数，与 （1）的结论矛盾。 2. 求下列数集的最大数、最
2、小数，或证明它们不存在： ； Ax x= |0 +1，所以不存在。 Amax 1 2 sinmax= B；因为Bx， 2 , 0 ，使得sin=x，于是有 B 2 sin ，x， 存在Sy， 使得Sysup， 于是，且Ty+ = AB ，因为B为 集合的上确界， 所以存在SSx， 使得ABx， 这与A为集合的 上确界矛盾，所以 S BA =，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集S，必有supSinf S。当supS=inf S时，数集S有什 么特点? 解解 对于任意的，有SxSxSsupinf，所以。当SSinfsup supS=inf S时，数集S是
3、由一个实数构成的集合。 10 7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S3| 2 p q ，则3 2 r 2 2 34 r3 2 m n ，取有理数充分小，使得0r34 2 2 + = 2 22 2 rr m n m n r m n 34 2 2 + rr m n ，这说明r m n 也是的上 界，与 S m n S =sup矛盾。所以S没有上确界。 同理可证S没有下确界。 11 习 题 2.2 数列极限习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： + + 1 1 2 n n ； ()； ( .)1099 nn + n n 5 1 ；
4、 + 3 321 n n? ； n n 3 2 ； ! 3 n n ； n n n! ； + + + + nnnn n 2 1 ) 1( 2 1 1 11 ?。 证证 （1）)20( lg lg0.99 ( 1) (0.99)(0.99) nn 2 1 5 n 2 时，成立 1 5 n n + n 222 n 33 3(12)2 nn n nn C =， 取 = 1 ,11maxN，当时，成立Nn n 55 5 2 1 3 2 1 ! 5 3 ! 3 lg 1 1 2 lg 2 N m ，于是成立 ，取 = 1 N，当时，成立 Nn ，取 = 2 1 N，当时，成立 Nn 13 ，取 = 8
5、1 N，当时，成立 Nn n a 22 1)1 (23 nn n n aCan+=+3n n nn n an 3 ) 1( ) 13(2 ，取 = 2 9 N，当时，成立 Nn n ，存在0N，使当nN时成立； xn nn ，存在无穷多个,使。 0xx 解解 （1）例如，则nxn= n x满足条件，但不是无穷小量。 （2）例如 = 是偶数 是奇数 n n nn xn 1 ，则 n x满足条件，但不是无穷小量。 4. 设k是一正整数，证明：lim n xn= a的充分必要条件是。 lim n xn k + = a 证证 设，则lim n xn= a0，N，Nn ，成立，N，Nn ，成立， 1 N
6、， 1 Nn ， 成立 ， ，成立 N Nn 2 ， ，成立 N Nn M xn ，成立kkk，得到 12 1 )2(642 ) 12(531 0 + n a?, 2 , 1=n1lim 1 = + l a a n n n ，则。 0lim= n n a 证证 取，由lr = + l a a n n n ，可知NnN ,，成立1 1 + r a a n n ，于 是 1 1 1 0 + n a?, 2 , 1=na a a n n n = + 1 lim，则aa n n n = lim。 证证 由n n n n n a a a a a a aa 12 3 1 2 1 =?及a a a n n
7、n = + 1 lim，可知 aa n n n = lim。 12. 设(aa)存在，证明： lim n an 12 +? (1) lim n 1 2 12 n aanan()+?= 0； (2) lim n ( !)n a aan n 12 1 ? = 0 (, i = 1,2,n)。 ai 0 18 解解（1）设， nn Saaa=+? 21 lim n aSn=，则由可知 kanSS k k n n k n = = 11 1 k lim n 0 1 11 limlim 1 1 11 = = = = aaS nn n Ska n n k k n n n n k k 。 （2）由 n n a
8、aan 1 21 )!(0?)2( 1 21n naaa n +?与（1） ，即得到 lim n ( !)n a aan n 12 1 ? = 0。 13. 已知lim n an= a，lim n bnb=，证明： lim n a ba ba b n ab nnn1211 + = ? 。 证证 令 nnnn bbaa+=+=,，由lim n an= a，lim n bnb=，可知lim n 0= n ， lim n 0= n 。设， + N NnM n 。因为 += + ab n bababa nnn1121 ? = n k k n b 1 = + n k k n a 1 = + + n k
9、knk n 1 1 1 ， = + n k knk n 1 1| | 1 | 1 = n k k n M ， 由0 1 lim 1 = = n k k n n ，0 1 lim 1 = = n k k n n 及 0 1 lim 1 = = n k k n n ，得到 lim n a ba ba b n ab nnn1211 + = ? 。 14. 设数列a满足 n lim n aaa n n12 +? = a ( a)+。证明： lim n a n n = 0。 证证 因为= + n aaa n n 121 lim ? lim n a n aaa n n n = + ) 1 1 ( 121 ? ，所以 lim n a n n =lim n n aaa n +? 21 (0) 121 = + n aaa n ? 。 19
